以下均為簡單筆記，如有錯誤，請多多指教。

1. 驗證旋轉矩陣是正交矩陣。 證：如公式(3.5)所示 $R= \begin{bmatrix} e_1^T \\ e_2^T \\ e_3^T \end{bmatrix} \begin{bmatrix} e_1^{'} e_2^{'} e_3^{'} \end{bmatrix}$ 考慮到 $\left[\begin{array}{c}{e}_1^T\\ e_2^T\\ e_3^T\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{e}_1^T{e}_2^T{e}_3^T\end{array}\right]=I,\left[\begin{array}{c}{e}_1^{{\mathrm{\prime }}^{}}{e}_2^{{\mathrm{\prime }}^{}}{e}_3^{{\mathrm{\prime }}^{}}\end{array}\right][\begin{array}{c}{e}_1^{{\mathrm{\prime }}^{}T}{e}_2^{{\mathrm{\prime }}^{}T}\end{array}$
   e3′T]=I \begin{bmatrix} e_1^T \\ e_2^T \\ e_3^T \end{bmatrix} \begin{bmatrix} e_1^T e_2^T e_3^T \end{bmatrix}=I, \begin{bmatrix} e_1^{'} e_2^{'} e_3^{'} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} e_1^{'T} e_2^{'T} e_3^{'T} \end{bmatrix}=I 則不難發現$RR^T=R^TR=I$。
2. 尋找羅德里格斯公式的推導過程並加以理解。 證： 如上圖(圖片來源 Computer Vision: Algorithm and Application)所示假定旋轉軸為$\hat{n}$，$\theta$為旋轉角度，$v,u$為旋轉前後的變數，即$u=Rv$，證明 $R=cos\theta I+(1-cos\theta)nn^T+sin\theta n^{\land}（見公式3.14）$
   首先不難發現， $v_{||}=\hat{n}(\hat{n}\bullet v)=\hat{n}\hat{n}^Tv$ 則 $v_{\perp}=v-v_{||}=(I-\hat{n}\hat{n}^T)v$ 進一步可以得到 $v_{\times}=\hat{n} \times v = n^{\land} v$ 於此同時， $u_{\perp} = cos\theta v_{\perp} + sin\theta v_{\times}$ 又因為（原因是$u,v$都是單位向量） $u_{||} = v_{||}$ 整理上述所有公式可以得到： $u = u_{\perp} + u_{||} = cos\theta v_{\perp} + sin\theta v_{\times} + v_{||}$ 整理後得到 $u = cos\theta (I-\hat{n}\hat{n}^T)v + sin\theta n^{\land} v + \hat{n}\hat{n}^Tv = ( cos\theta I + (1-cos\theta)\hat{n}\hat{n}^T+sin\theta n^{\land})v$ 得證。
3. 驗證四元數旋轉某個點後，結果是一個虛四元數，所有仍然對應到一個三維空間點。 證： 記點$p=[0,v]$，四元數為$q=[cos\frac{\theta}{2},nsin\frac{\theta}{2}]$，則$q^{-1}=[cos\frac{\theta}{2},-nsin\frac{\theta}{2}]$ 首先計算 $qp=[cos\frac{\theta}{2}*0-sin\frac{\theta}{2}n^Tv,cos\frac{\theta}{2}v+sin\frac{\theta}{2}n_{\times}v]$ 然後計算$(qp$