以下均為簡單筆記，如有錯誤，請多多指教。

1. 驗證$SO(3)$、$SE(3)$和$Sim(3)$關於乘法成群。
   證：
   已知$SO(3)=\lbrace{R\isin\R^{3\times3}| RR^T=I,det(R)=1}\rbrace$;取$R_1\isin SO(3)$，$R_2\isin SO(3)$，$R_3\isin SO(3)$

   );
   驗證封閉性：設$R=R_1R_2$；不難發現$RR^T=(R_1R_2)(R_1R_2)^T=R_1R_2R_2^TR_1^T=I$；並且$det(R)=det(R_1)det(R_2)=1$；故$R\isin SO(3)$；
   驗證結合律：根據矩陣乘法結合律，不難得到$(R_1R_2)R_3=R_1(R_2R_3)$
   ；
   么元：根據單位矩陣的特性，可以發現$IR=RI=R$；
   逆：由於單位旋轉矩陣具有正定性，即$RR^T=I$。
   –
   已知$SE(3)=\lbrace{T=\begin{bmatrix} R & t \\ 0^T & 1 \end{bmatrix}\isin\R^{4\times4}| R\isin SO(3),t\isin \R^3}\rbrace$;
   驗證封閉性：設$T=T_1T_2$，故$T=\begin{bmatrix} R_1R_2 & R_1t_2+t_1 \\ 0^T & 1 \end{bmatrix}$，由於$R_1R_2\isin SO(3)$，且$R_1t_2+t_1\isin R^3$，因此$T\isin SE(3)$；
   驗證結合律：根據矩陣乘法結合律，不難得到$(T_1T_2)T_3=T_1(T_2T_3)$；
   么元：根據單位矩陣的特性，可以發現$IT=TI=T$；
   逆：對於$T$，必然存在$T_inv=\begin{bmatrix} R^T & -R^Tt \\ 0^T & 1 \end{bmatrix}$使得$TT_inv=I$。
   由於$SE(3)$與$SO(3)$並無明顯區別，此處不再驗證。
   

2. 驗證$(\R^3,\R,\times)$構成李代數。
   證：
   假設$X,Y,Z\isin \R^3$，
   封閉性：不難發現$[X,Y]=X^{\land}Y\isin \R^3$；
   雙線性：$[aX+bY,Z]=(aX+bY)Z=aX^{\land}Z+bY^{\land}Z=a[X,Z]+b[Y,Z]$；同理$[Z，aX+bY]=Z(aX+bZ)=aZ^{\land}X+bZ^{\land}Y=a[Z,X]+b[Z,Y]$；
   自反性：根據向量執行，明顯$[X,X]=X^{\land}X=0$;
   雅克比等價：由於$[X,[Y,Z]]+[Z,[X,Y]]+[Y,[Z,X]]=[X,Y^{\land}Z]+[Z,X^{\land}Y]+[Y,Z^{\land}X]=X^{\land}(Y^{\land}Z)+Z^{\land}(X^{\land}Y)+Y^{\land}(Z^{\land}X)$

   相關推薦

   SLAM從入門到放棄：SLAM十四講第八章習題（1-3）

   以下均為簡單筆記，如有錯誤，請多多指教。 除了LK光流之外，還有哪些光流方法？它們各有什麼特點？ 答：此答案轉載於：https://blog.csdn.net/iloveayu/article/det

   SLAM從入門到放棄：SLAM十四講第十章習題（1-4）

   以下均為簡單筆記，如有錯誤，請多多指教。 證明式 K =

   SLAM從入門到放棄：SLAM十四講第七章習題（9）

   以下均為簡單筆記，如有錯誤，請多多指教。 使用Sophus的SE3類，自己設計g2o的節點與邊，實現PnP和ICP的優化。 答：對於PnP問題，需要重新設計的節點包括相機節點、Landmark節點和一

   SLAM從入門到放棄：SLAM十四講第七章習題（10）

   以下均為簡單筆記，如有錯誤，請多多指教。 在Ceres中實現PnP和ICP的優化。 答：程式碼如下，其結果與g2o差異不大。不過感覺程式碼看起來更加簡潔，個人比較喜歡ceres。 PnP IC

   SLAM從入門到放棄：SLAM十四講第八章習題（4）

   以下均為簡單筆記，如有錯誤，請多多指教。 使用Ceres實現RGB-D上稀疏直接法和半稠密直接法。 答：由於稀疏直接法和半稠密直接法並沒有本質區別，所以此處只提供了稀疏直接法的計算結果。我的實驗結果發現，在同樣的資料集上g2o和Ceres的結果似乎不太一樣，目

   SLAM從入門到放棄：SLAM十四講第四章習題（1-4）

   以下均為簡單筆記，如有錯誤，請多多指教。 驗證SO(3)SO(3)SO(3)、SE(3)SE(3)SE(3)和Sim(3)Sim(3)Sim(3)關於乘法成群。 證： 已知SO(3)={R∈R3×3

   《演算法競賽入門經典（第二版）》第三章 習題（1-5）

   習題3-1 得分（UVa1585 Score） #include<iostream> #include<stdio.h> #include<string.h> using namespace std;   int main(){    

   SLAM從入門到放棄：SLAM十四講第三章習題

   以下均為簡單筆記，如有錯誤，請多多指教。 驗證旋轉矩陣是正交矩陣。 證：如公式(3.5)所示 R=[e1Te2Te3T][e1′e2′e3′] R= \begin{bmatrix} e_1^T \\

   筆記二 ：EgretH5通用MVC框架的入門操作：在scene中製造一個彈出選單（UI部分）

   前言：彈出選單是遊戲中UI非常常見的一個部件，下面將用筆記一中建立的scene進行構建，效果圖如下： 1.在\resource\skins\DemoSkin.exml檔案中新增： <e:Group width="610.61" height="192.42"

   《c語言從入門到精通》看書筆記——第16章 網路套接字程式設計（上）——網路

         （1）TCP協議：傳輸協議（TCP）是一種提供克勞資料傳送的通用協議，他是TCP/IP體系結構中傳輸層上的協議。在傳送資料時，應用層的資料傳輸到傳輸層，傢伙是哪個TCP首部，資料就構成了報文。報文就是網路層IP的資料，如果再加上IP首部，就構成了IP資料報。TCP協議的C語言資料描述如下：  

   《c語言從入門到精通》看書筆記——第3章 資料型別

   auto 區域性變數（自動儲存） break無條件退出程式最內層迴圈 case   switch語句中選擇項 char單位元組整型資料 const定義不可更改的常量值 continue中斷本次迴圈，並轉向下一次迴圈 default switch語句中的預設選擇項 do  用於構成do.....while迴圈

   《c語言從入門到精通》看書筆記——第10章 指標

   1、地址與指標      地址：就是記憶體區中對每個位元組的編號      指標：可以看作是記憶體中的一個地址。在程式中定義了一個變數，在進行編譯時就會給該變數在記憶體中分配一個地址，通過訪問這個地址可以找到相應的變數，這個變數的地址稱為該變數的“指標”。      如果一

   Jetty入門（1-4）

   html 配置文件 關註 hive 簽名證書 自動加載 spa 查詢參數 應用 使用Gradle來進行Java Web應用開發項目管理，可以十分便利地解決包依賴等問題。 war插件的出現，讓項目部署成為一個復制粘貼的過程，那有沒有辦法讓Java web應用的部署，就像win

   java編程思想第四版第五章習題

   調用構造 每次 override 變參 對象賦值 turn AC 初始化 @override 創建一個類, 它包含一個未初始化的String引用。驗證該引用被Java初始化成了null package net.mindview.initialization; publ

   java編程思想第四版第九章習題

   思想 成員 clas xtend out sys body java編程思想 abstract 第三題 package net.mindview.interfaces; abstract class Base{ public Base(){ pr

   D3 v4.x入門（1-4）——帶動畫的餅狀圖

   依舊是簡單粗暴的餅圖原始碼（帶動畫） <template> <div id='svgContainer' style=""> <div class="every"> <h3>餅圖探究</h3&

   具體數學第二版第四章習題（1)

   1 令$n=2^{a}3^{b}5^{c}$，它的因子個數為$k=(a+1)(b+1)(c+1)$。所以$k=1,2,3,4,5,6$時對應的$n=1,2,4,6,16,12$ 2 $Gcd(n,m)*Lcm(n,m)=n*m$ $Gcd((n)mod(m),m)*Lcm((n)mod(m),m)=(n)

   《Java從入門到放棄》入門篇：hibernate中的多表對應關系（二）

   文件中 nas join upx proxy n2n pla sta int 前一篇講完了一對多的關系，通過與JDBC對比應該能發現，是不是比JDBC簡單了很多？ 我們只需要把對象只間的包含或對應關系理清楚，完全不用我們自己來寫SQL語句。所以使用hibernate框架後，

   TensorFlow從入門到理解（四）：你的第一個迴圈神經網路RNN（分類例子）

   執行程式碼： import tensorflow as tf from tensorflow.examples.tutorials.mnist import input_data # set random seed for comparing the two result calculations

   [SLAM]（3-4）：四元數的定義與計算

   結合 高翔老師的著作《視覺SLAM十四講：從理論到實踐》，加上小白的工程經驗共同完成。 1.四元數的定義         旋轉矩陣用九個量描述三自由度的旋轉，具有冗餘性：尤拉角與旋轉向量是緊湊的，但是具有奇異性。事實上，我們找不到不帶奇異