題目詳情

給定一個正整數 n，將其拆分為至少兩個正整數的和，並使這些整數的乘積最大化。 返回你可以獲得的最大乘積。

示例 1:

輸入: 2
輸出: 1
解釋: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。

示例 2:

輸入: 10
輸出: 36
解釋: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。

說明: 你可以假設 n 不小於 2 且不大於 58。

題目解析

關鍵是找到狀態方程， 我們設定dp[i]表示整數i的最大乘積， 那麼把問題分成子問題， 我們發現dp[i] 與前面的dp[1] ~ dp[i-1]都有關係， 關係很容易找到

dp[i] = max(j * (i-j), j *
 
 dp[i - j])  j = 1,2 ······ i -1

而初始條件dp[1] = 1, dp[2] = 2, dp[3] = 3

為什麼要加上 j * (i-j)的比較呢， 是為了處理dp[i] < i的情況， 例如 n=4， 那麼如果不考慮 j * (i-j)， 因為dp[2] = 1 <2, 所以最終的結果為3， 但是其實把4分成2 * 2， 最終結果為4. 所以要加上 j * (i-j) 直接把i分成兩個數字i, j-i,的情況。

那麼可以由此得到第一種dp程式碼

程式碼一 動態規劃

class Solution {
public:
    int integerBreak
 
(int n) {
        vector <int> dp(n +1, 0);
        int tmp = 0;
        dp[0] = 0;
        dp[1] = 1;
        dp[2] = 1;
        
        for (int i = 3; i <= n ; i++) {
            tmp = 0;
            for (int j = 1; j <= i - 1; j++) {
                tmp = max(tmp, max(dp[j] * (i-j), j * (
 
i - j)));
            }
            dp[i] = tmp;
        }
        
        return dp[n];
    }
};

時間複雜度為0(n^2)

程式碼2 數學推倒

有一些其他的部落格給了更加速度快的演算法， 有一種是利用數學推導， 得出要想使乘積最大， 只需要儘可能的多分成3， 其次是二

數學推導過程 由均值不等式(n個數的算術平均數大於等於它們的幾何平均數)：

得：當把輸入的n拆分成幾個相等的數時它們的積最大。

那麼問題來了，拆分成幾個呢？

為了方便使用導數，我們先假設我們可以把n拆分成實數。那麼設每一個數為x,則一共有n/x個數。

設它們的積為f(x),則f(x)=x(n/x)，那麼怎麼求f(x)最大值呢？求導數！

f′(x)=(n/x2) * x(n/x) * (1-lnx)

當x=e時取極大值。

而我們題目裡規定x為整數，那麼我們只需要取的x越靠近e越好。那麼2<e<3，而且e=2.71828…，所以取3是最好的，如果取不到3就取2。

冪運算複雜度為O(lgn)，所以這個演算法複雜度為O(lgn)。

程式碼如下

class Solution {
public:
    int integerBreak(int n) {
        if(n == 2)
            return 1;
        else if(n == 3)
            return 2;
        else if(n%3 == 0)
            return pow(3, n/3);
        else if(n%3 == 1)
            return 2 * 2 * pow(3, (n - 4) / 3);
        else 
            return 2 * pow(3, n/3);
    }
};