最長單調遞增子序列的三種解法
阿新 • • 發佈:2018-12-24
問題描述:
解法二:設d[i]為以第i個元素結尾的最長遞增子序列的長度,則d[i]=max{0,d[j] | j<i,a[j]<a[i]}+1,ans=max{d[i]}. 時間複雜度O(n*n)
解法三:設d[i]為以第i個元素結尾的最長遞增子序列的長度。假設已經計算出的兩個狀態p和q滿足a[p]<a[q],且d[p]=d[q],對於後續所有狀態(i>p且i>q)來說,p一定比q好。所以此時只保留p一定不會丟失最優解。所以對於相同的d值,只需保留a[i]最小的一個。g[i]表示d值為i的最小狀態編號(g[i]初始化為正無窮)。
找出由n個數組成的序列的最長單調遞增子序列
解法一:轉化成LCS問題求解,時間複雜度為O(n*n).
思路:原序列為A,把A按升序排序得到序列B,求出A,B序列的最長公共子序列,即為A的最長單調遞增子序列。
#include<iostream> #include<algorithm> #include<string> #include<cstdio> using namespace std; //轉化成LCS問題,時間複雜度O(n*n) int d[105][105]; int a[105]; int b[105]; int c[105][105]; void LCS_path(int i,int j) //列印路徑 { if(i==0||j==0) return; if(c[i][j]==1) { LCS_path(i-1,j-1); cout<<a[i]<<" "; //a[i]==b[j] } else if(c[i][j]==2) { LCS_path(i-1,j); } else { LCS_path(i,j-1); } } int main() { int i,j,n,m; //freopen("d:\\test.txt","r",stdin); cin>>m; while(m--) { cin>>n; for(i=1; i<=n; i++) { cin>>a[i]; b[i]=a[i]; } sort(b+1,b+n+1); for(i=1; i<=n; i++) { for(j=1; j<=n; j++) { if(a[i]==b[j]) { d[i][j]=1+d[i-1][j-1]; c[i][j]=1; } else if(d[i-1][j]>d[i][j-1]) { d[i][j]=d[i-1][j]; c[i][j]=2; } else { d[i][j]=d[i][j-1]; c[i][j]=3; } } } LCS_path(n,n); cout<<endl; cout<<d[n][n]<<endl; } //fclose(stdin); return 0; }
解法二:設d[i]為以第i個元素結尾的最長遞增子序列的長度,則d[i]=max{0,d[j] | j<i,a[j]<a[i]}+1,ans=max{d[i]}. 時間複雜度O(n*n)
#include<iostream> #include<algorithm> #include<cstdio> using namespace std; int d[105]; int a[105]; int main() { int i,j,n,m; //freopen("d:\\test.txt","r",stdin); cin>>m; while(m--) { cin>>n; for(i=0; i<n; i++) { cin>>a[i]; } d[0]=1; int ans=0; for(i=1;i<n;i++) { int Max=0; for(j=i-1;j>=0;j--) { if(a[i]>a[j]) { if(Max<d[j]) Max=d[j]; } } d[i]=Max+1; ans=max(ans,d[i]); } cout<<ans<<endl; } //fclose(stdin); return 0; }
解法三:設d[i]為以第i個元素結尾的最長遞增子序列的長度。假設已經計算出的兩個狀態p和q滿足a[p]<a[q],且d[p]=d[q],對於後續所有狀態(i>p且i>q)來說,p一定比q好。所以此時只保留p一定不會丟失最優解。所以對於相同的d值,只需保留a[i]最小的一個。g[i]表示d值為i的最小狀態編號(g[i]初始化為正無窮)。
在給定狀態 i 時,可用二分查詢找到滿足g[k]>=a[i]的第一個下標k,d[i]=k,此時a[i]<g[k],而d[i]=k,所以更新g[k]=a[i]. 時間複雜度O(nlogn).
#include<iostream> #include<algorithm> #include<cstdio> using namespace std; const int INF=1e9; int d[105]; int a[105]; int g[105]; int main() { int i,j,n,m; //freopen("d:\\test.txt","r",stdin); cin>>m; while(m--) { cin>>n; for(i=0; i<n; i++) { cin>>a[i]; } int ans=0; for(i=1;i<=n;i++) g[i]=INF; //初始化g[i] for(i=0;i<n;i++) { int k=lower_bound(g+1,g+1+n,a[i])-g; d[i]=k; g[k]=a[i]; //更新g[k],使g陣列保持最小遞增序列(第1~n個元素均為當前可取最小值),不會丟失最優解 ans=max(d[i],ans); } cout<<ans<<endl; } //fclose(stdin); return 0; }