最長單調遞增子序列

設A是n個不同正整數構成的序列，求A的一個最長遞增子序列。例如序列為1,5,3,8,10,6,4,9；它的最長遞增子序列為1,5,8,10；1,5,8,9；...。

這是一道很典型的動態規劃題目。設fi表示結尾元素為原序列中第i個元素的最

長單調遞增序列的長度（為了簡便，設a0 = -∞，f0= 0），動態規劃的狀態轉移方程如下：

為了改進這個演算法，我們需要引入一個輔助陣列。設gi 表示到目前為止，所有長度為

i 的單調遞增子序列中最後一個元素的最小值。易知，gi-1≤gi(1≤i≤n)（可以用反證法來證明）

，

也就是說，{gi}是一個不下降序列。當到第i-1 個字元為止的{gi}已知時，fi 就等於在{gi}中第一個大於或等於ai 的元素的位置（也就是lower_bound() 所給出的位置）。然後，我們要對{gi}進行更新。更新十分簡單，只要令gj=ai

就可以了。一開始，令gi =∞(1≤i≤n)。由於

每次查詢位置的時間複雜度為O(log n)，而更新的時間複雜度為O(1)，因此，這個演算法總

的時間複雜度就是O(n log n).

改進後的演算法(O(n log n))：

fill(g,g+n,infinity);
for(inti=0;i<n;i++){
intj=lower_bound(g,

fout << *max_element(f, f + n) << endl;

注： STL中的lower_bound()函式

如果被查詢的值出現在序列中，那麼lower_bound() 將返回序列中第一個和被查詢的值

相等的元素的位置，而upper_bound() 將返回序列中最後一個和被查詢的值相等的元素的後一個位置。這樣的定義和STL 中序列的定義是一致的。設lower_bound() 的返回值為l，

upper_bound() 的返回值為u，那麼序列[l, u) 就是原序列中所有和被查詢的值相等的元素所構成的子序列。如果被查詢的值沒有出現在序列中，那麼