資料結構-樹（基本概念整合）
樹是最優美的形狀（世間萬物皆有其樹結構）
①樹的基本概念
樹（Tree）是n（n>=0）個結點的有限集。
在任意一棵非空樹中：
（1）有且僅有一個特定的稱為根（Root）的結點；
（2）當n>1時，其餘結點可分為m（m>0）個互不相交的有限集T1，T2，...，Tn，其中每個集合本身又是一棵樹，並稱為根的子樹（SubTree）
層次 樹
1 A
/ | \
2 B C D
/ \ | / | \
3 E F G H I J
/ \ |
4 K L M
★樹的結點包含一個數據元素及若干指向其子樹的分支。
（1）度
結點擁有的子樹樹稱為結點的度（Degree）如：上圖A的度為3，C的度為1，F的度為0。
度為0的結點稱為葉子（Leaf）或終端結點，如：上圖K,L,F,G,M,I,J都是樹的葉子
度不為0的結點稱為非終端結點或分支結點，如：上圖A,B,C,D,E,H
★樹的度是樹內各節點的度的最大值，如：上圖的樹的度為 3 。
（2）結點（家譜圖）
結點的子樹的根稱為該結點的孩子（Child），相應地，該結點稱為孩子的雙親（Parent）如：上圖D是A的孩子，A是D的雙親。
同一個雙親的孩子叫兄弟（Sibling）如：上圖H,I,J為互為兄弟
其雙親在同一層的結點互為堂兄弟。如上圖G與E、F、H、I、J互為堂兄弟
結點的祖先是從根到該結點所經分支上的所有結點。如：上圖M的祖先為A、D、H
（3）層次，深度（你家幾代同堂啊？）
結點的層次（Level）從根開始定義起，根為第一層，根的孩子為第二層，
樹中結點的最大層次成為樹的深度（Depth）或高度。如：上圖樹的深度為4
（4）有序樹與無序樹（長子，次子。。）
樹中結點的各子樹看成從左至右是有次序的（即不能互換），則稱該樹為有序樹
有序樹中最左的子樹的根稱為第一個孩子，最右邊的稱為最後一個孩子。（畢竟有序，排好了誰是老大，誰是老二，長兄有序嘛）
★森林（Forest）是m（m>=0）棵互不相交的樹的集合。對樹中每個結點而言，其子樹的集合即為森林。
由此也可以森林和樹相互遞迴的定義來描述樹。
②二叉樹
1、二叉樹的定義及其主要特徵
二叉樹（Binary Tree）是另一種樹形結構，
★二叉樹的特點是：（1）每個結點至多隻有兩棵子樹（即二叉樹中不存在度大於2的結點），
（2）二叉樹的子樹有左右之分，其次序不能隨意顛倒。
二叉樹要麼為空，要麼是由一個根結點加上兩棵分別稱為左子樹和右子樹的，互不相交的二叉樹組成。
★二叉樹的五種形態
| | A | A | A
Φ | A | B | B C | B
（1） | （2） | （3） | （4） | （5）
★二叉樹的性質
（性質一）在二叉樹的第 i 層上至多有 2^(i-1)個結點 （i >=1）
第一層 ：1(2^0) 第二層：2(2^1) 第三層：4(2^2) 第四層：8(2^3)
（性質二）深度為 k 的二叉樹至多有2^k -1個結點（k>=1）
由性質一得：第k層，2^k - 1 個結點
1+2+2^2+....+2^(k-1) = ( 1 - 2^k)/(1-2) = 2^k - 1
（性質三）★對任何一棵二叉樹 T ，如果其終端結點數位n0，度為2的結點數位n2，則n0=n2+1。
式一： n = n0 + n1 + n2 （結點總數 等於 度為0 加 度為1 加 度為2）
式二： n = n0 + 2*n2 +1（n = 分支總數+1 ；分支總數 = n1+n2 （分支是由度為1，度為2的結點射出的））
式二 - 式一得： n0 = n2 + 1
★完全二叉樹
一棵深度為 k 且有2^k - 1個結點的二叉樹為滿二叉樹
（性質一）具有n個結點的完全二叉樹的深度為 」 log 2 n」+1
由普通的二叉樹性質二得：深度為k，結點數最多2^k - 1個，那麼log一下就出來了
（性質二）如果對一棵有n個結點的完全二叉樹（其深度為」 log 2 n」+1 ）的結點按層序編號（從第一層到最後一層，每層從左到右），對任一結點i（1<= i <=n）有
（1）如果 i =1，則結點 i 是二叉樹的根，無雙親；
如果 i >1，則其雙親Parent( i ) 是結點 」i / 2」
（2）如果2*i >n，則結點 i 無左孩子（結點 i 為葉子節點） ；否則其左孩子LChild( i )是結點2*i。
（3）如果2*i+1>n，則結點 i 無右孩子；否則其右孩子RChild( i )是結點2*i+1。
【這個性質，對於建立二叉樹，有著非凡的意義】
且看下面這個完全二叉樹：
1
/ \
2 3 [ i / 2 ]
/ \ / \ / \
4 5 6 7 i i+1
/ \ / \ / \ / \ / \ / \
8 9 10 11 12 13 14 15 2 i 2 i+1 2 i+2 2 i+3
【性質二通俗版】從下往上看：結點1是根，沒雙親；其他點的雙親是 i / 2 取下值
從上往下看：左孩子 是根節點的兩倍（偶數），右孩子是根節點的兩倍+1（奇數）
2、二叉樹的順序儲存結構和鏈式儲存結構
順序儲存結構：
#define MAX_TREE_SIZE 100 //二叉樹最大結點數
typedef TElemTyle SqBiTree[MAX_TREE_SIZE]; //0號單元儲存根節點
SqBiTree bt;[1] [2] [3] [4] [5] [0] [0] [0] [0] [6] [7] [8]
鏈式儲存結構
typedef struct BiTNode{
TElemType date;
struct BiTNode *lchild,*rchild;//左右孩子指標
}BiTNode,*BiTree;/
[ ] [B] [ ]
/ \
[^] [C] [^] [ ] [D] [ ]
/ \
[^] [E] [ ] [^] [F] [^]
\
[^] [G] [^]
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不同的建二叉樹技巧：
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3、二叉樹的遍歷：傳送門（建樹，前序，中序，後序，中序非遞迴，深度，葉子數，節點數）
（1）先序遍歷二叉樹 （根>左>右）
（2）中序遍歷二叉樹 （左>根>右）
（3）後序遍歷二叉樹 （左>右>根）
（4）層次遍歷二叉樹
4、線索二叉樹的基本概念和構造（傳送門）
[ lchild ] [ LTag ] [ data ] [ RTag ] [ rchild ]
LTag = { 0 : lchild 域指示結點的左孩子 1 : lchild 域指示結點的前驅 }
RTag = { 0 : rchild 域指示結點的右孩子 2 : rchild 域指示結點的後繼 }
以這種結點結構構成的二叉連結串列作為二叉樹的儲存結構，叫做線索連結串列，其中，指向結點前驅和後繼的指標，叫做線索。
加上線索的二叉樹叫做線索二叉樹（Threaded Binary Tree）
對二叉樹以某種次序遍歷使其變成線索二叉樹的過程叫做線索化
（1）前序線索二叉樹
（2）中序線索二叉樹
（3）後序線索二叉樹
③樹、森林
1、樹的儲存結構
A
↙ ↘
B C
↙ ↙ ↘
D E F
↙ ↓ ↘ ↘
G H I J
一、雙親表示法（自下而上）
我們假設以一組連續空間儲存樹的結點，同時在每個結點中，附設一個指示器指示其雙親結點在陣列中的位置。
每個結點：【data】【parent】
其中data：資料域，儲存結點的資料資訊。parent：指標域，儲存該結點的雙親在陣列找那個的下標。
#define MAX_TREE_SIZE 100
typedef int TElemType; //樹節點的資料型別
typedef struct PTNode{
TElemType data; //結點資料
int parent; //雙親位置
}PTNode;
typedef struct{
PTNode nodes[MAX_TREE_SIZE]; //結點陣列
int r,n; //根的位置和結點數
}PTree;typedef struct PTrNode{
TElemType data; //結點資料
struct PTrNode *parent; //指向雙親的指標
}PTrNode;
| 下標 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| data | A | B | C | D | E | F | G | H | I | J |
| parent | -1 | 0 | 0 | 1 | 2 | 2 | 3 | 3 | 3 | 4 |
二、孩子表示法
樹中每個結點可能有多課子樹，可以考慮用多重連結串列，即每個結點有多個指標域，其中每個指標指向一棵子樹的根節點，這種方法叫做多重連結串列表示法。
方案一：
每個結點【data】【child1】【child2】【child3】....【childd】
其中data是資料域，child1~childd是指標域，用來指向該結點的孩子結點。指標個數為樹的度數（每個結點的孩子結點個數為樹的度，即最多大的孩子結點個數）
【缺點：這樣很浪費空間】
方案二：
每個結點【data】【degree】【child1】【child2】【child3】....【childd】
其中data是資料域，degree是度域，child1~childd是指標域，用來指向該結點的孩子結點。
【這樣就能減少空指標的浪費】
方案三：
用兩種結點結構：
表頭陣列的表頭節點：【data】【firstchild】其中：data是資料域，儲存某結點的資料資訊。firstchild是頭指標域，儲存孩子連結串列的頭指標。
孩子連結串列的孩子結點：【child】【next】其中：child是資料域，儲存某個節點在表頭陣列中的下標，next是指標域，指向下一個孩子結點的指標。
#define MAX_TREE_SIZE 100
typedef int TElemType; //樹節點的資料型別
typedef struct CTNode{ //孩子結點
int child;
struct CTNode *next;
}*ChildPrt;
typedef struct{ //表頭結構
TElemType data;
ChildPtr firstchild;
}CTBox;
typedef struct{ //樹結構
CTBox nodes[MAX_TREE_SIZE]; //結點陣列
int r,n; //根的位置和結點數
}CTree;0 【A】 【 】 → → → 【 1 】 【 】 → → → 【 2 】 【 ^ 】
1 【B】 【 】 → → → 【 3 】 【 ^ 】
2 【C】 【 】 → → → 【 4 】 【 】 → → → 【 5 】 【 ^ 】
3 【D】 【 】 → → → 【 3 】 【 】 → → → 【 7 】 【 】 → → 【 8 】 【 ^ 】
4 【E】 【 】 → → → 【 9 】 【 ^ 】
5 【F】 【 * 】
6 【G】 【 * 】
7 【H】 【 * 】
8 【I 】 【 * 】
9 【J】 【 * 】
雙親孩子表示法：（結合上面兩種表示法）
下標 data parent firstchild child next
0 【A】 【 -1 】 【 】 → → → 【 1 】 【 】 → → → 【 2 】 【 ^ 】
1 【B】 【 0 】 【 】 → → → 【 3 】 【 ^ 】
2 【C】 【 0 】 【 】 → → → 【 4 】 【 】 → → → 【 5 】 【 ^ 】
3 【D】 【 1 】 【 】 → → → 【 3 】 【 】 → → → 【 7 】 【 】 → → 【 8 】 【 ^ 】
4 【E】 【 2 】 【 】 → → → 【 9 】 【 ^ 】
5 【F】 【 2 】 【 * 】
6 【G】 【 3 】 【 * 】
7 【H】 【 3 】 【 * 】
8 【I 】 【 3 】 【 * 】
9 【J】 【 4 】 【 * 】
三、孩子兄弟表示法
結點結構：【data】【firstchild】【rightsib】
其中data為資料域，firstchild為指標域，儲存該節點的第一個孩子結點儲存地址，rightsub是指標域，儲存該節點的右兄弟結點的儲存地址。
typedef int TElemType; //樹節點的資料型別
typedef struct CSNode{
TElemType data;
struct CSNode * firstchild,*rightsib;
}CSNode , *CSTree;↓
【 B 】【 】【 ^ 】 → → → → → → → → → → 【 C 】【 】【 ^ 】
↓ ↓
【 D 】【 】【 ^ 】 【 E 】【 】【 】 → 【 F 】【 ^ 】【 ^ 】
↓ ↓
【 G 】【 ^ 】【 】 → 【 H 】【 ^ 】【 】 → 【 I 】【 ^ 】【 ^ 】 【 J 】【 ^ 】【 ^ 】
斜著看，他其實是一棵二叉樹。（根據程式碼也可以看出來）
根據二叉樹的特性來處理樹
2、森林和二叉樹的轉換
一、森林轉換成二叉樹
如果F={ T1，T2，....，Tm }是森林，則可按如下規則轉換成一棵二叉樹B=（root，LB,RB）
（1）若F為空，即m=0，則B為空樹。
（2）若F非空，即m≠0，則B的根root即為森林中第一棵樹的根ROOT（T1）；
B的左子樹LB是從T1中根結點的子樹森林F1= { T11，T12，...，T1m1} 轉換而成的二叉樹
B的右子樹RB是從森林F‘ = { T2，T3,.....，Tm}轉換而來的二叉樹。
二、二叉樹轉換成森林
如果B=（root，LB,RB）是一棵二叉樹，則可按如下規則轉換成森林F={ T1，T2，....，Tm }
（1）若B為空，則F為空。
（2）若B非空，則F中第一棵樹T1的根root即為二叉樹B的根root；
T1中根結點的子樹森林F1是由B的左子樹LB轉換而成的森林；
F中除T1之外其餘樹組成的森林F‘ = { T2，T3,.....，Tm}是由B的右子樹RB轉換而成的森林。
3、樹與森林的遍歷
一、先序遍歷森林
若森林非空，則可按下述規則遍歷之；
（1）訪問森林中第一棵樹的根結點；
（2）先序遍歷第一棵樹中根結點的子樹森林；
（3）先序遍歷除去第一棵樹之後剩餘的樹構成的森林。
二、中序遍歷森林
若森林非空，則可按下述規律遍歷之；
（1）中序遍歷森林中第一棵樹的根結點的子樹森林；
（2）訪問第一棵樹的根結點；
（3）中序遍歷除去第一棵樹之後剩餘的樹構成的森林。
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特別的建樹技巧
【並查集建樹（利用陣列的一對多特性）雙親表示法】
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④樹與二叉樹的應用
1、二叉排序樹
2、平衡二叉樹
3、哈夫曼樹和哈夫曼編碼。