樹的儲存結構

之前我們提到過堆是一棵特殊的樹，在堆的儲存方式中，我們選擇了陣列的方式去儲存。因為只要知道一個節點的位置我們就能找到其他的節點的位置。但是前提是堆是一棵完全二叉樹。樹的結構多種多樣，沒人規定說一個節點只能有一個孩子。
我們先看下圖，一個最簡單的二叉樹：

怎麼表達？看到箭頭，我們應該立馬反應過來一個基本的工具，沒錯就是指標，應該立馬反應過來一個數據結構，那就是連結串列！

對吧，把value換成我們的A B C,分別定義兩個指標，一個指向左邊的節點，一個指向右邊的節點，其他的節點類似，就能把一棵二叉樹表達出來了。很完美對吧。那麼我們怎麼用c++來描述這一個資料結構呢？程式碼如下：

struct Tree{
    string value;
    Tree *left;
    Tree *right;
};

程式碼對應的結構圖應該是這樣的：

但肯定有人問，那麼三叉樹呢？n叉樹呢是不是也可以同樣的方式來定義呢？當然！就先說說三叉樹，其實三叉樹就是在中間多了一個往下的箭頭對吧，那麼我們的資料結構按上面的結構，多用一個指向中間的指標不就完事了？看下圖：

那麼 n 叉樹呢？這個時候我們就發現如果按照上述的定義，太麻煩了，程式碼都得多幾十行，而且不好記憶。那麼我們可以把這些指標存進一個vector中，就像這樣：

struct Tree {
  string
 
 value;
  Vector<Tree *> children;
};

這個vector裡面儲存著指向他們孩子節點的指標。就像這樣：

那麼樹的儲存結構在記憶體中是怎麼樣的呢？看下圖

樹的四種遍歷方式

我們先看一顆樹:

這是一棵簡單的二叉樹，現在我們來看看什麼叫樹的遍歷:
遍歷樹的節點並在每個節點執行一些操作的過程稱為遍歷或行走樹(traversing or walking the tree)。在許多情況下，將需要按照數值的的順序遍歷樹 這種處理在左右子樹的遞迴呼叫之間的節點的方法被稱為中序遍歷（inorder traversal）。 另外還經常發生另外兩種型別的樹遍歷，它們被稱為前序遍歷和後序遍歷（preorder and postorder traversals）

先序遍歷（preOrder）

遍歷樹的節點並在每個節點執行一些操作的過程稱為遍歷樹，這是我們講遍歷之前提到過的，那麼我們就以這個模式來講解這個部分的內容。操作我們就用最簡單的輸出資料來實現。這樣先序遍歷的步驟就是：
- Do something
- Go left
- Go right

結合程式碼跟上面的樹我們來講解一下具體的步驟

void preOrder(Tree *tree){
    if (tree == NULL) return; //如果樹為空，直接返回函式
    cout << tree -> value << endl;
    preOrder(tree -> left);
    preOrder(tree -> right);
}

首先，判斷樹是否為空，是，則直接返回，否則進行下一步。先執行操作（這裡是輸出節點的值），為Grumpy，然後繼續先序遍歷節點的左子樹，此時的tree指向的是doc節點，判斷這子樹是否為空？結果是否，因為doc下面還有子節點（孩子分別為Bashful和Dopey）,判斷為否後執行操作，輸出Doc，繼續先序遍歷，此時tree指向Bashful，判斷這子樹是否為空，結果為否！（這是個葉子，沒有子節點，但是也是一棵孤立的樹），執行輸出操作，輸出Bashful。繼續執行先序遍歷操作，此時指標指向Bashful的左孩子，由於它沒有孩子，於是判斷這子樹為空，返回程式（return；）。此時指標往上回退，對右邊進行先序遍歷，輸出Dopey。判斷這個節點有無孩子，繼續執行上述操作。這樣子，我們可以看到先序遍歷是先遍歷左邊的子樹，再遍歷右邊的子樹。輸出為：

中序遍歷（inOrder）

中序遍歷的步驟為：
- Go left
- Do something
- Go right

看一段程式碼：

void inOrder(Tree *tree){
    if (tree == NULL) return;
    inOrder(tree -> left);
    cout << tree -> value << endl;
    inOrder(tree -> right);
}

首先判斷樹是否為空，是直接返回，否則繼續。繼續中序遍歷樹的左節點，在這個例子中，一開始的指標指向的是Grumpy，因為樹不為空，因此遍歷它的左節點，也就是這個時候指標指向Doc，樹仍然不為空，那麼繼續遍歷其左節點，此時指標指向Bashful，此時bashful是個孤立的樹葉，但仍是一棵子樹。繼續遍歷其左子樹，發現此時為空，程式直接返回上一級指標，也就是指向Bashful，並執行輸出操作。接下來遍歷其右節點，同理發現沒有，指標回退到Doc，由於是由inOrder(tree -> left);回退而來，所以接下來輸出Doc，然後執行inOrder(tree -> right)，指標指向Doc的右節點，也就是Dopey。過程同Bashful。完成後指標就會退至Grumpy。由於是由inOrder(tree -> left);回退而來，所以接下來輸出Doc，然後執行inOrder(tree -> right)，指標此時指向Sleepy，樹為空嗎，否，指標繼續往下，遍歷左節點，也就是指標此時指向Happy，此時Happy是個孤立的樹葉，但仍是一棵子樹。繼續遍歷其左子樹，發現此時為空，程式直接返回上一級指標，也就是指向Happy，並執行輸出操作。然後重複上述的操作，得出結果應該是這樣的：

Bashful
Doc
Dopey
grumpy
Happy
Sleepy
Sneezy

後序遍歷（postOrder）

步驟為：
- Go left
- Go right
- Do something

程式碼為:

void postOrder(Tree * tree) {
    if(tree == NULL) return;
    postOrder(tree -> left);
    postOrder(tree -> right);
    cout<< tree->value << endl;
}

首先，指標指向Grumpy,判斷樹是否為空，是則返回，否則繼續。後序遍歷樹的左節點，此時指標指向Doc，樹為空嗎？否，指標繼續指向左子樹，也就是Bashful。樹仍然不為空，繼續往下，發現左右子樹都為空，立刻返回，然後輸出該節點的值，也就是Bashful。指標往上返回，指向Doc，然後執行postOrder(tree -> right);此時指標指向Dopey，同上操作，輸出Dopey。隨後指標回退，指向Grumpy，此時樹為空嗎？否，遍歷左邊，輸出Doc，然後遍歷右邊，指標指向Sleepy，此時樹為空嗎？否，繼續遍歷Happy，為空嗎？否，檢視樹的左節點，為空，立刻返回，輸出Happy，隨後指標返回Sleep中，檢視右節點，為空嗎？否，遍歷左右子樹，為空，立刻返回，然後輸出Sneezy，指標回退到Grumpy中，輸出Sleepy，最後輸出根節點。因此最終的結果為：

Bashful
Dopey
Doc
Happy
Sneezy
Sleepy
Grumpy

層次遍歷（levelOrder）

考慮這樣一個問題，如果我們需要將樹的節點按順序從左往右，依次按順序輸出，我們應該怎麼辦呢？能否按上述的步驟進行遞迴實現呢？唔。。。似乎不太容易，但是按順序依次輸出似乎讓我們想到了什麼？我們前面介紹過一種順序資料結構，沒錯，就是我們的棧跟佇列，顯然這種情況我們選用佇列好多了。我們要做的步驟為：
1. 將樹裝進我們的佇列中，如果佇列未空執行下列操作
2. 將樹根移出佇列
3. 對節點進行操作
4. 如果有左節點，進行出佇列操作
5. 如果有右佇列，進行出佇列操作

這樣，出佇列的順序就是樹的層次順序。程式碼為：

void levelOrder(Tree *tree) {
    Queue<Tree *>treeQueue; //建立一個佇列儲存樹，型別為指向樹的指標
    treeQueue.enqueue(tree);//將樹裝進我們的佇列中
    while (!treeQueue.isEmpty()) { //判斷樹是否為空
        Tree *node = treeQueue.dequeue(); //定義一個Tree型別的指標，指向出隊的節點
        cout << node->value << " ";  //輸出該節點的值

       if (node->left != NULL) {     //如果存在左節點，將左節點移除
            treeQueue.enqueue(node->left);
        }
        if (node->right != NULL) {   //如果存在右節點，將右節點移除
            treeQueue.enqueue(node->right);
        }
    }
}

因此，按上述的例子，輸出為：

Grumpy
Doc
Sleepy
Bashful
Dopey
Happy
Sneezy

好了，樹的四種遍歷方式就先講到這裡。不過個人感覺，再去做一下嚴蔚敏《資料結構(C語言版）》P129的那個表示式，能受益匪淺！！！