知識要點：

樹的結構和主要概念，各種二叉樹的結構及其特點；

二叉樹的三種遍歷方法的實現原理和性質，能將二叉樹的遍歷方法應用於求解二叉樹的葉子結點個數、二叉樹計數等問題，遍歷的非遞迴實現方法；

線索化二叉樹的結構和基本操作；（充分利用二叉樹的空鏈域）

森林的定義和儲存結構，森林的遍歷等方法的實現；（遍歷方式與二叉樹一致）

基於霍夫曼樹生成霍夫曼編碼的方法；

最優二叉樹（霍夫曼樹）的構造原理和相關演算法。

AVL樹的定義和特點以及AVL樹調整操作的實現原理；（平衡二叉樹的建立與調整）

1、樹

樹的定義：含有n個結點的有限集合；n=0時二叉樹為空樹；

1）在非空二叉樹 中有且只有一個被稱為根的結點；

2）其餘結點可以分為多個互不相交的集合，每個集合本身又是一棵樹；

特點：除了根結點之外，每個結點都有前驅結點，樹中所有結點可以有0個或多個後繼結點。

對於含有n個結點的樹，其有n-1條邊；

樹的相關定義（瞭解）：

祖先結點：沿著某一路徑到達結點K，K之前的所有結點都為其祖先結點；

子孫結點：從K點沿著某一路徑向下，K之後的所有結點都為其子孫結點；

雙親結點：在K結點上側，且直接與K相互關聯的結點，稱為K的雙親結點；

孩子結點：在K結點下側，且直接與K相互關聯的結點，稱為K的孩子結點；

兄弟結點：位於同一層次上，且雙親結點相同的結點之間互為兄弟結點；

結點的度：該結點所具有的分支數；（由此結點發出的邊的條數）

樹的度：樹中結點度的最大值；

分支結點：度非0的結點，所具有的分支數就是該結點的度；

葉子結點（終端結點）：度為0的結點；

結點的層次：根結點位於第一層，由上往下層次數依次加一；

樹的高度（深度）：結點的最大層次數；

有序樹和無序樹：不區分子樹的先後順序為無序樹（子樹可以相互交換位置），反之稱為有序樹；

路徑和路徑長度：兩個結點之間的路徑即結點之間所經過的分支，分支的數目稱為路徑長度；

森林：多顆互不相交的樹的集合；

性質：樹中的結點數等於所有結點的度數加1（含有n個結點的樹邊數為n-1）

           樹中有n-1條邊，所有結點的度數為n-1  ->此樹中含有n個結點

           m叉樹中中第i層最多有m^(i-1)個結點；

第一層1個，第二程m個，第三層m^2個，數學歸納法得出第i層最多有m^(i-1)個

           樹高為h的m叉樹最多有(m^h-1)/(m-1)個結點；

           1+m+m^2+.....+m^(h-1) 等比數列求和

           含有n個結點的m叉樹的最小高度為  logm[n(m-1)+1]上取整；

           讓每一層都達到最大結點數，所形成的樹高度最小；

           (m^h-1)/(m-1)>=n且(m^(h-1)-1)/(m-1)<n；求解兩方程得出

           logm[n(m-1)+1]<=h<logm[n(m-1)+1]+1

二叉樹的定義：（遞迴定義且為有序樹子樹之間不能相互變化）

要麼為空樹，要麼滿足以下定義：

1）有且只有一個被稱為根的結點；

2）除了根結點之外，其餘結點又分為兩個互不相交的集合，每個集合又滿足二叉樹的定義（左右子樹）；

性質：葉子節點的個數等於度為2的結點個數+1（即  N0=N2+1）

N0+N1+N2=N；

N1+2N2=N-1；聯立兩式得出N0=N2+1；

          含有n個結點的二叉樹必有n+1個空指標域（可以用於二叉樹的線索化）；

N2=N0-1；N0+N1+N2=n；得出N1+2N0=n+1；（N0提供兩個空指標域，N1提供一個空指標域）

兩種特殊的二叉樹：（完全二叉樹和滿二叉樹）

滿二叉樹：每一層的結點數都達到最大值（即深度為k的二叉樹結點數目為2^k-1，每i層結點為2^(i-1)）

完全二叉樹：對二叉樹從根開始由右到左依次標號，與滿二叉樹對應的標號一致則稱之為完全二叉樹；

                      特點：葉子結點只會出現在層次最大的兩層上；

                      性質：含有n個結點的完全二叉樹的深度為，k=(log2[n])(下取整)+1；

                                 完全二叉樹中要麼無度為1的結點，要麼有且只有一個度為1的結點，而且此結點一定無右孩子；

完全二叉樹由上至下，由左往右對結點進行依次編號（i=1時為根結點）

                       1）當i>1時，其雙親結點的值為（i/2）

                       2）2*i<=N時，其左孩子編號為2i，否則無左孩子

                       3）2*i+1<=N時,其左孩子編號為2*i,右孩子編號為2*i+1，否則無右孩子；

二叉樹的四種遍歷方式（先序、中序、後序、層次）

先序遍歷：根->左->右；中序遍歷：左->根->右；中序遍歷：左->右->根；層次遍歷：由上到下，由左到右；

已知中序和其他的任意一種遍歷方式既可以唯一確定一顆二叉樹；

二叉樹的前三種遍歷方式滿足遞迴定義，通過遞迴可以實現（藉助棧結構），層次遍歷需要藉助佇列實現；

二叉樹的存取方式（順序儲存、鏈式儲存）：順序存取需要開闢一連續記憶體空間，會有空間上的浪費；對於鏈式存取

設立左右指標域，標明左右子樹關係；

線索二叉樹（充分利用空指標域來表明遍歷的前驅和後繼）方便直接找到遍歷前驅與後繼，加快查詢速度

根據遍歷的順序確定當前結點的前驅和後繼；（左前驅，右後繼）

ltag=0時，表示該結點有左孩子，左指標域指向左孩子結點；

ltag=1時，表示該結點無左孩子，左指標域指向此結點的前驅結點；

rtag=0時，表示該結點有右孩子，右指標域指向右孩子結點；

rtag=1時，表示該結點無右孩子，左指標域指向此結點的後繼結點；

總結：0表示該結點有對應的孩子，1表示該結點指標域為NULL，指向其前驅和後繼；

樹的表示方法：雙親表示法、孩子表示法、孩子兄弟法（左孩子右兄弟）根結點的右指標域為NULL；

☆☆☆樹與森林的轉化：
任何一顆和樹對應的二叉樹其根結點的右子樹必定為空NULL。（左孩子，右兄弟）
（森林和二叉樹可以相互轉化）
森林轉化成二叉樹：
F={T1，T2，....}為一森林集合
如果F為NULL，則次此二叉樹為空樹;
如果F不為空，二叉樹的根即為集合中T1的根，二叉樹的左子樹是T1根結點的子樹森林中轉化而成的二叉樹，
二叉樹的右子樹為原集合中剩餘部分所轉化成的二叉樹。
1、將所有樹先轉化成二叉樹；
2、後一個二叉樹作為前一個二叉樹的右孩子，第一個二叉樹為根。
樹轉化成二叉樹：
1、連線具有相同雙親的兄弟結點
2、除了第一個孩子結點之外，刪除剩餘兄弟結點與雙親的連線。
3、剩餘部分即為生成的二叉樹。

二叉樹轉化成樹：
1、加線：若某結點的左孩子結點存在，則將這個左孩子的右孩子結點、右孩子的右孩子結點、右孩子的右孩子的右孩子結點…，
都作為結點的孩子。將結點與這些右孩子結點用線連線起來。
2、去線：刪除原二叉樹中所有結點與其右孩子結點的連線。
3、層次調整。

二叉樹轉化成森林：
B={root,LB,RB}
如果二叉樹為空：則森林為空
如果二叉樹不為空，則森林中第一顆樹的根為二叉樹的根root,T1中根結點的子樹森林F1是由二叉樹左子樹LB轉化
而成的森林；F中除了T1之外的其餘樹組成的森林F'={T2,T3,...}是由二叉樹B的右子樹轉化而來的。

1、斷開從根結點沿著右下角路徑上的所有連線。
2、將生成的二叉樹變成森林即可。

樹、二叉樹、森林轉化的總結：

1、樹轉化為二叉樹：連線所有的兄弟結點，去除除了第一個結點之外的其他與父節點的連線，

以根為軸心順時針旋轉45度；

（二叉樹轉化為樹與之相反）

2、森林轉化為二叉樹：將森林中的每一顆樹轉化成二叉樹。

連線新生成二叉樹的每一個根結點（第一顆樹的根結點為生成二叉樹的樹根，有指標域指向第二顆子樹，依次類推）；

以根為旋轉軸順時針旋轉45度；

3、二叉樹轉化為森林：斷開從根結點開始一直向右下方的所有連線，生成多顆二叉子樹，

將每顆二叉子樹轉化成樹即可構成森林；

樹、森林、二叉樹的遍歷之間的關係：

哈夫曼樹（哈夫曼編碼）：左零右一，哈夫曼編碼為最優字首編碼，葉子結點儲存資料

字首編碼：任何一個編碼都不是另一個編碼的字首則此編碼稱為字首編碼；

哈夫曼樹為帶權路徑長度最小的樹，其樹形並不唯一，但所求權值一定相同；

☆☆☆哈夫曼樹的構造：（左0右1）

1）有N個結點各自為根形成一個集合(森林)

2）從集合中選取最小的兩個值作為葉子結點，生成一顆新樹，此樹根結點的權值為葉子結點的權值之和；

如果權值相同，優先選用高度最小的；將原樹結點刪除，將新生成的樹加入集合(森林)中；

3）重複2步驟直到森林中只有一顆樹，該樹就為哈夫曼樹；

二叉排序樹（BST）：要麼為一顆空樹，要麼滿足一下定義（遞迴定義）

                                    1）左子樹非空，則左子樹中任意結點的值小於根節點的值；

                                    2）右子樹非空，則右子樹中任意結點的值大於根結點的值；

                                    3）左右子樹又滿足一顆二叉排序樹的定義；

特點：中序遍歷得到的是一個有序序列。對於二叉排序樹的查詢最優時間複雜度為O(log2n)，最壞為單支樹的情況O(n)；

所以二叉排序樹的查詢效率與樹形（高）有關；若本身插入的構造資料有序，則此二叉排序樹為單支樹；

二叉排序樹的刪除：1）如果是葉子結點則直接刪除；（不影響二叉排序樹的性質）

                                 2）如果為非葉子結點且只有一顆左或右子樹，則直接讓子樹的根結點代替原刪除結點即可；

                                 3）如果為非葉子結點且有左右子樹，則讓子樹中的子女位置填充刪除結點的位置；

                                       比如右子樹中最左側的結點或者左子樹中最右側的結點；

平衡二叉樹：

定義：要麼為空樹，要麼滿足一下定義；

每個結點的左右子樹的深度之差（平衡因子）的絕對值不超過1；（平衡因子只能是-1,0,1）

☆☆☆重點：對於平衡二叉樹的調整：（左逆右順，負負得正）

LL型：在A結點左子樹根結點的左子樹插入結點，導致A結點平衡因子由1變2

           進行一次順時針旋轉；將原根結點的左孩子作為新生成樹的根結點，將左孩子的右子樹作為原樹根結點的左孩子。

RR型：在A結點右子樹根結點的右子樹插入結點，導致A結點平衡因子由-1變-2

           進行一次逆時針旋轉；將原根結點的右孩子作為新生成樹的根結點，將右孩子的左子樹作為原樹根結點的右孩子。

LR型：在A結點左子樹根結點的右子樹插入結點，導致A結點平衡因子由1變2

           先逆時針旋轉一次，後順時針旋轉一次；

           將新插入的部分作為此插入結點父節點的右孩子，逆時針旋轉一次，將此結點作為此子樹的根結點，將其原父節點作為此            結點的左孩子，再將此結點的右孩子作為原樹根結點的左孩子，順時針旋轉一次，將此結點作為整個樹的根結點，將原根            結點作為新生成樹的右孩子。

RL型：在A結點右子樹根結點的左子樹插入結點，導致A結點平衡因子由-1變-2

           先順時針旋轉一次，後逆時針旋轉一次；

          將新插入的部分作為此插入結點父節點的左孩子，順時針旋轉一次，將此結點作為此子樹的根結點，將其原父節點作為此              結點的右孩子，再將此結點的左孩子作為原樹根結點的右孩子，逆時針旋轉一次，將此結點作為整顆樹的根結點，將原根            結點作為新生成樹的左孩子。

高度為h的平衡二叉樹結點的最小值問題：N1=1、N2=2、N3=4、N4=7

                                                                   遞推公式Nh=Nh-1+Nh-2+1；(前兩項的值的和加1)