prim最小生成樹演算法原理
prim 最小生成樹演算法原理 主要需要了解演算法的原理、演算法複雜度、優缺點 、刻畫和度量指標 評價等 可以查閱相關的文獻，這部分內容主要整合了兩篇部落格的內容
分別是：http://blog.csdn.net/tham_/article/details/46048907 這一篇重點在於演算法的複雜度
http://blog.csdn.net/hnust_xiehonghao/article/details/38013125 這一篇主要是幫助理解prim的演算法原理
這篇文章是對《演算法導論》上Prim演算法求無向連通圖最小生成樹的一個總結，其中有關於我的一點點小看法。
最小生成樹的具體問題可以用下面的語言闡述：
輸入
輸出：這個圖的最小生成樹，即一棵連線所有頂點的樹，且這棵樹中的邊的權值的和最小。
舉例如下，求下圖的最小生成樹：
這個問題是求解一個最優解的過程。那麼怎樣才算最優呢？
首先我們考慮最優子結構：如果一個問題的最優解中包含了子問題的最優解，則該問題具有最優子結構。
最小生成樹是滿足最優子結構的，下面會給出證明：
最優子結構描述：假設我們已經得到了一個圖的最小生成樹(MST) T，(u, v)是這棵樹中的任意一條邊。如圖所示：
現在我們把這條邊移除，就得到了兩科
T1是圖G1=(V1, E1)的最小生成樹，G1是由T1的頂點匯出的圖G的子圖，E1={(x, y)∈E, x, y ∈V1}
同理可得T2是圖G2=(V2, E2)的最小生成樹，G2是由T2的頂點匯出的圖G的子圖，E2={(x, y)∈E, x, y ∈V2}
現在我們來證明上述結論：使用剪貼法。w(T)表示T樹的權值和。
首先權值關係滿足：w(T) = w(u, v)+w(T1)+w(T2)
假設存在一棵樹T1'比T1更適合圖G1，那麼就存在T'={(u,v)}UT1'UT2'，那麼T'就會比T更適合圖G，這與T是最優解相矛盾。得證。
因此最小生成樹具有最優子結構，那麼它是否還具有重疊子問題性質呢？我們可以發現，不管刪除那條邊，上述的最優子結構性質都滿足，都可以同樣求解，因此是滿足重疊子問題性質的。
考慮到這，我們可能會想：那就說明最小生成樹可以用動態規劃來做咯？對，可以，但是它的代價是很高的。
我們還能發現，它還有個更強大的性質：貪心選擇性質。因而可用貪心演算法完成。
貪心演算法特點：一個區域性最優解也是全域性最優解。
最小生成樹的貪心選擇性質：令T為圖G的最小生成樹，另A⊆V，假設邊(u, v)∈E是連線著A到A的補集（也就是V-A)的最小權值邊，那麼(u, v)屬於最小生成樹。
證明：假設(u, v)∉T， 使用剪貼法。現在對下圖進行分析，圖中A的點用空心點表示，V-A的點用實心點表示：
在T樹中，考慮從u到v的一條簡單路徑（注意現在(u, v)不在T中），根據樹的性質，它是唯一的。
現在把(u, v)和這條路上中的第一條連線A和V-A的邊交換，即畫紅槓的那條邊，邊(u, v)是連線A和V-A的權值最小邊，那我們就得到了一棵更小的樹，這就與T是最小 生成樹矛盾。得證。
現在呢，我們來看看Prim的思想：Prim演算法的特點是集合E中的邊總是形成單棵樹。樹從任意根頂點s開始，並逐漸形成，直至該樹覆蓋了V中所有頂點。每次新增到樹中的邊都是使樹的權值儘可能小的邊。因而上述策略是“貪心”的。
演算法的輸入是無向連通圖G=(V, E)和待生成的最小生成樹的根r。在演算法的執行過程中，不在樹中的所有頂點都放在一個基於key域的最小優先順序佇列Q中。對每個頂點v來說，key[v]是所有將v與樹中某一頂點相連的邊中的最小權值；按規定如果不存在這樣的邊，則key[v]=∞。
實現Prim演算法的虛擬碼如下所示：
MST-PRIM(G, w, r)
for each u∈V
do key[u] ← ∞
parent[u]← NIL
key[r] ← 0
Q ← V
while Q ≠∅
do u ← EXTRACT-MIN(Q)
for each v∈Adj[u]
do if v∈Q and w(u, v) < key[v]
then parent[v] ← u
key[v] ← w(u, v)
其工作流程為：
（1）首先進行初始化操作，將所有頂點入優先佇列，佇列的優先順序為權值越小優先順序越高
（2）取佇列頂端的點u，找到所有與它相鄰且不在樹中的頂點v，如果w(u, v) < key[v]，說明這條邊比之前的更優，加入到樹中，即更改父節點和key值。這中間還 隱含著更新Q的操作（降key值）
（3）重複2操作，直至佇列空為止。
（4）最後我們就得到了兩個陣列，key[v]表示樹中連線v頂點的最小權值邊的權值，parent[v]表示v的父結點。
現在呢，我們發現一個問題，這裡要用到優先佇列來實現這個演算法，而且每次搜尋鄰接表都要進行佇列更新的操作。
不管用什麼方法，總共用時為O(V*T(EXTRACTION)+E*T(DECREASE))
（1）如果用陣列來實現，總時間複雜度為O(V2)
（2）如果用二叉堆來實現，總時間複雜度為O(ElogV)
（3）如果使用斐波那契堆，總時間複雜度為O(E+VlogV)
上面的三種方法，越往下時間複雜度越好，但是實現難度越高，而且每次對最小優先佇列的更新是非常麻煩的，那麼，有沒有一種方法，可以不更新優先佇列也達到同樣的 效果呢？
答案是：有。
其實只需要簡單的操作就可以達到。首次只將根結點入佇列。第一次迴圈，取出佇列頂結點，將其退佇列，之後找到佇列頂的結點的所有相鄰頂點，若有更新，則更新它們的key值後，再將它們壓入佇列。重複操作直至佇列空為止。因為對樹的更新是區域性的，所以只需將相鄰頂點key值更新即可。push操作的複雜度為O(logV)，而且省去了之前將所有頂點入佇列的時間，因而總複雜度為O(ElogV)。
具體實現程式碼，鄰接矩陣優先佇列可以用STL實現：
- #include <iostream>
- #include <cstdio>
- #include <vector>
- #include <queue>
- usingnamespace std;
- #define maxn 110 //最大頂點個數
- int n, m; //頂點數，邊數
- struct arcnode //邊結點
- {
- int vertex; //與表頭結點相鄰的頂點編號
- int weight; //連線兩頂點的邊的權值
- arcnode * next; //指向下一相鄰接點
- arcnode() {}
- arcnode(int v,int w):vertex(v),weight(w),next(NULL) {}
- };
- struct vernode //頂點結點，為每一條鄰接表的表頭結點
- {
- int vex; //當前定點編號
- arcnode * firarc; //與該頂點相連的第一個頂點組成的邊
- }Ver[maxn];
- void Init() //建立圖的鄰接表需要先初始化，建立頂點結點
- {
- for(int i = 1; i <= n; i++)
- {
- Ver[i].vex = i;
- Ver[i].firarc = NULL;
- }
- }
- void Insert(int a, int b, int w) //尾插法，插入以a為起點，b為終點，權為w的邊，效率不如頭插，但是可以去重邊
- {
- arcnode * q = new arcnode(b, w);
- if(Ver[a].firarc == NULL)
- Ver[a].firarc = q;
- else
- {
- arcnode * p = Ver[a].firarc;
- if(p->vertex == b)
- {
- if(p->weight > w)
- p->weight = w;
- return ;
- }
- while(p->next != NULL)
- {
- if(p->next->vertex == b)
- {
- if(p->next->weight > w);
- p->next->weight = w;
- return ;
- }
- p = p->next;
- }
- p->next = q;
- }
- }
- void Insert2(int a, int b, int w) //頭插法，效率更高，但不能去重邊
- {
- arcnode * q = new arcnode(b, w);
- if(Ver[a].firarc == NULL)
- Ver[a].firarc = q;
- else
- {
- arcnode * p = Ver[a].firarc;
- q->next = p;
- Ver[a].firarc = q;
- }
- }
- struct node //儲存key值的結點
- {
- int v;
- int key;
- friendbool operator<(node a, node b) //自定義優先順序，key小的優先
- {
- return a.key > b.key;
- }
- };
- #define INF 0xfffff //權值上限
- int parent[maxn]; //每個結點的父節點
- bool visited[maxn]; //是否已經加入樹種
- node vx[maxn]; //儲存每個結點與其父節點連線邊的權值
- priority_queue<node> q; //優先佇列stl實現