題目

給定正整數 n，找到若干個完全平方數（比如 1, 4, 9, 16, …）使得它們的和等於 n。你需要讓組成和的完全平方數的個數最少。

示例:

示例 1:

輸入: n = 12
輸出: 3 
解釋: 12 = 4 + 4 + 4.
示例 2:

輸入: n = 13
輸出: 2
解釋: 13 = 4 + 9.

解法一：

      利用佇列和廣度優先遍歷的方法，佇列以[(當前節點的值，步數)]的方式存，利用廣度優先遍歷最先到終點的路線一定是最短路徑的特點，來找到最短步數。

示例

class Solution:
    def numSquares(self, n):
        """
        :type n: int
        :rtype: int
        """
 

        q = list()
        # 建立佇列
        q.append([n, 0])
        visited = [False for _ in range(n + 1)]
        # 儲存遍歷過的結點
        visited[n] = True

        # 遍歷佇列裡的節點
        while any(q):
            num, step = q.pop(0)

            i = 1
            tnum = num - i ** 2
            while tnum >=
 
 0:
                # 最先到達0的一定是步數最少的
                if tnum == 0:
                    return step + 1
                # 只新增沒有遍歷過的節點
                if not visited[tnum]:
                    q.append((tnum, step + 1))
                    visited[tnum] = True
                i += 1
                tnum =
 
 num - i ** 2

執行結果

解法二：

      這種解法是在網上看到的，利用四平方和定理。

Lagrange 四平方定理： 任何一個正整數都可以表示成不超過四個整數的平方之和。
那麼我們這個問題的解法就變得很簡單了，我們的結果只有1,2,3,4，四種可能。

另外還有一個非常重要的推論

if and only if n is not of the form n=4a(8b+7)n=4a(8b+7) for integers a and b.
滿足四數平方和定理的數n（這裡要滿足由四個數構成，小於四個不行），必定滿足 n=4a(8b+7)

我們首先將輸入的n迅速縮小。然後我們再判斷，這個縮小後的數是否可以通過兩個平方數的和或一個平方陣列成，不能的話我們返回3，能的話我們返回平方數的個數。
現在我們的問題已經縮減到了，怎麼判斷一個數是由一個還是由兩個平方數的和構成？對於這個問題，我們當然可以暴力破解。

示例

class Solution:
    def numSquares(self, n):
        """
        :type n: int
        :rtype: int
        """
        while n % 4 == 0:
            n /= 4

        if n % 8 == 7:
            return 4

        a = 0
        while a ** 2 <= n:
            b = int((n - a ** 2) ** 0.5)
            if a ** 2 + b ** 2 == n:
                return (not not a) + (not not b)

            a += 1

        return 3

執行結果