完全平方數

給定正整數 n，找到若干個完全平方數（比如 1, 4, 9, 16, ...）使得它們的和等於 n。你需要讓組成和的完全平方數的個數最少。

示例 1:

輸入: n = 12

輸出: 3

解釋: 12 = 4 + 4 + 4.

示例 2:

輸入: n = 13

輸出: 2

解釋: 13 = 4 + 9.

【思路】

1. 遞迴

　　對於一個數，我們怎麼求它的由哪些完全平方數相加得到的呢？

　　首先找到距離這個數最近的完全平方數m = x*x，我們從1~x中選擇一個數，求出n中包含z個x*x，我們在遞迴求出n-z*x*x所包含的完全平方數。遍歷1~x，返回其中最小的結果。

2. 動態規劃

　　動態規劃用 dp[i] 陣列儲存第 i 個數的完美平方數。遞推式為：dp[i] = Math.min(dp[j] + dp[i-j], dp[i])，認為 i 的完全平方數是從和為 i 的兩個完全平方數 dp[j] 和 dp[i-j]之和，然後從中取最小。

 3. 改進後的動態規劃

　　如圖所示，紅色部分表示平方數，所有的數都可以看做一個普通數加上一個完美平方數，那麼遞推式就變為了：dp[i + j * j] = Math.min(dp[i] + 1, dp[i + j * j])。

【java遞迴實現】

 1 public
 
 class Solution {
 2     public int numSquares(int n) {
 3         int count = n;
 4         int nearest = (int)Math.sqrt(n);
 5         if(n == 0) return 0;
 6         if(nearest*nearest == n) return 1;
 7         for(int i = nearest; i >= 1; i--) {
 8             int cur = 0, num  = n, t = i*i;
 9
 
             while(num - t >= 0) {
10                 num -= t;
11                 cur++;
12             }
13             if(cur < count){
14                 count = Math.min(numSquares(num)+cur, count);
15             }
16         }
17 
18         return count;
19     }
20 }

【java實現動態規劃】

 1 public class Solution {
 2     /*
 3     動態規劃的思想來解決，遞推公式dp[i] = Math.min(dp[j] + dp[i-j], dp[i])
 4     */
 5     public int numSquares(int n) {
 6         int[] array = new int[n+1];
 7         Arrays.fill(array, Integer.MAX_VALUE);
 8         array[1] = 1;
 9 
10         for(int i = 2; i <=n; i++) {
11             int sqr = (int)Math.sqrt(i);
12             if(sqr*sqr == i) array[i] = 1;
13             else{
14                 for(int j = 1; j <= i/2; j++) {
15                     array[i] = Math.min(array[j]+array[i-j], array[i]);
16                 }
17             }
18         }
19         return array[n];
20     }
21 }

 【java實現改進後的動態規劃】

 1 public class Solution {
 2     /*
 3     改進後動態規劃，遞推公式dp[i+j*j] = Math.min(dp[i]+1, dp[i+j*j])
 4     */
 5     public int numSquares(int n) {
 6         int[] array = new int[n+1];
 7         Arrays.fill(array, Integer.MAX_VALUE);
 8 
 9         for(int i = 1; i*i <= n; i++) {
10             array[i*i] = 1;
11         }
12         for(int i = 1; i <= n; i++) {
13             for(int j = 1; i+j*j <= n; j++) {
14                 array[i+j*j] = Math.min(array[i]+1, array[i+j*j]);
15             }
16         }
17         return array[n];
18     }
19 }