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2018.09.27【BZOJ5221】偏題（矩陣快速冪）（數學推理）

阿新 • • 發佈：2019-01-06

【問題描述】

斐波那契數列是一個經典遞推數列，即Fibn=Fibn−1+Fibn−2Fib_n=Fib_{n-1}+Fib_{n-2}
在這個問題中，定義一個新數列，對於n≥2n ≥ 2有Fn=Fn−1+Fn−2+3+Fn−1Fn−2F_n=F_{n-1}+F_{n-2}+\sqrt{3+F_{n-1}F_{n-2}}
對於給出的四個整數F0,F1,M,nF_0,F_1,M,n，求FnmodMF_n\text{ }mod\text{ }M。
資料保證3+Fn−

1Fn−2\sqrt{3+F_{n-1}F_{n-2}}總是整數。

【輸入格式】

從檔案fib.infib.in中讀入資料。
一行四個整數F0,F1,M,nF_0,F_1,M,n。

【輸出格式】

輸出到檔案fib.outfib.out中。
一行一個整數，表示FnF_n對MM取模後的值。

【樣例輸入1】

1 1 10 5

【樣例輸出1】

4

【樣例解釋1】

∙ F0=1F_0 = 1
∙ F1=1F_1 = 1
∙ F2=1+1+23+1×1=6F_2 = 1 + 1 + 2 \sqrt {3 + 1 × 1} = 6

2​=1+1+23+1×1​=6
∙ F3=6+1+23+6×1=13F_3 = 6 + 1 + 2\sqrt{3 + 6 × 1} = 13
∙ F4=13+6+23+13×6=37F_4 = 13 + 6 + 2\sqrt{3 + 13 × 6 }= 37
∙ F5=37+13+23+37×13=94F_5 = 37 + 13 + 2\sqrt{3 + 37 × 13} = 94

【樣例輸入2】

2 3 100 6

【樣例輸出2】

82

【資料規模】

對於30%的資料，nn ≤ 20。
對於60%的資料，F

0=F1=1F_0 = F_1 = 1。
對於80%的資料，n≤105n ≤ 10^5。
對於100%的資料，0≤n≤1090 ≤ n ≤ 10^9，1≤M≤1091 ≤ M ≤ 10^9，1≤F0≤F1≤1061 ≤ F_0 ≤ F_1 ≤ 10^6。

解析：

看到以為不是線性遞推，整個人就方了。

然而聽到有dalao說是二次剩餘，貌似並沒有AA掉此題。

思路：

由上面的遞推式我們有結論3+FnFn−1=3+Fn−1Fn−2+Fn−1\sqrt{3+F_nF_{n-1}}=\sqrt{3+F_{n-1}F_{n-2}}+F_{n-1}

直接構造矩陣，快速冪推一下就行了。

程式碼：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define re register
#define gc getchar
#define pc putchar
#define cs const

inline
ll getint(){
	re ll num;
	re char c;
	while(!isdigit(c=gc()));num=c^48;
	while(isdigit(c=gc()))num=(num<<1)+(num<<3)+(c^48);
	return num;
}

ll mod;
ll n,F1,F0;

struct matrix{
	ll a[3][3];
	matrix(){memset(a,0,sizeof a);}
	
	void origin(){
		a[0][0]=1,a[0][1]=0,a[0][2]=0;
		a[1][0]=0,a[1][1]=1,a[1][2]=0;
		a[2][0]=0,a[2][1]=0,a[2][2]=1;
	}
	
	void init(){
		a[0][0]=1,a[0][1]=1,a[0][2]=1;
		a[1][0]=1,a[1][1]=0,a[1][2]=0;
		a[2][0]=2,a[2][1]=0,a[2][2]=1;
	}
	
	ll *const operator[](cs int &offset){
		return a[offset];
	}
	
	friend matrix operator*(matrix t,matrix b){
		matrix c;
		(c[0][0]=t[0][0]*b[0][0]%mod+t[0][1]*b[1][0]%mod+t[0][2]*b[2][0]%mod)%=mod;
		(c[0][1]=t[0][0]*b[0][1]%mod+t[0][1]*b[1][1]%mod+t[0][2]*b[2][1]%mod)%=mod;
		(c[0][2]=t[0][0]*b[0][2]%mod+t[0][1]*b[1][2]%mod+t[0][2]*b[2][2]%mod)%=mod;
		(c[1][0]=t[1][0]*b[0][0]%mod+t[1][1]*b[1][0]%mod+t[1][2]*b[2][0]%mod)%=mod;
		(c[1][1]=t[1][0]*b[0][1]%mod+t[1][1]*b[1][1]%mod+t[1][2]*b[2][1]%mod)%=mod;
		(c[1][2]=t[1][0]*b[0][2]%mod+t[1][1]*b[1][2]%mod+t[1][2]*b[2][2]%mod)%=mod;
		(c[2][0]=t[2][0]*b[0][0]%mod+t[2][1]*b[1][0]%mod+t[2][2]*b[2][0]%mod)%=mod;
		(c[2][1]=t[2][0]*b[0][1]%mod+t[2][1]*b[1][1]%mod+t[2][2]*b[2][1]%mod)%=mod;
		(c[2][2]
            
  

           

              
              

            

            
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2018.09.27【BZOJ5221】偏題（矩陣快速冪）（數學推理）

     
 
							
							
							【問題描述】
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2018.09.27【BZOJ1076】【洛谷P4273】【SCOI2008】獎勵關（狀壓DP）（期望DP）

     
 
							
							
							
洛谷傳送門

解析：
一眼看題面就是期望DP，再看資料範圍就知道是狀態壓縮
思路：
一般來說是期望倒著推，概率順著推，少數情況可以不遵守以上規則。
然而這個就顯然不是少數情況，我們仍然選擇倒推。
我們考慮什麼狀態能夠倒著轉移回來。
我們列舉下一輪丟出的寶物，看 



  
 

    


    
    
【HDU1005】Number Sequence(矩陣快速冪)

     
 
								
								            
							
							
							
  記錄一個菜逼的成長。。


題目連結 
題目大意： 
f[1] = 1,f[2] = 1,f[n] = (a*f[n-1]+b*f[n-2])%7(n > 2) 
 給你a,b。求f[n]。 



  
 

    


    
    
HDU 4549 M斐波那契數列 （矩陣快速冪+費馬小定理）

     
 
								
								            
							
							
							思路：

通過列出幾項我們就可以發現ab的指數是斐波那契數列。然後博主就開（智）心（障）的用矩陣快速冪算指數了。。 
卻忘了一件事。。。誰說的取模對指數封閉的啊？？？md瘋狂wa了六七次。 
取模對乘法 



  
 

    


    
    
HDU 4549 M斐波那契數列 （矩陣快速冪 + 費馬小定理）

     
 
                M斐波那契數列F[n]是一種整數數列，它的定義如下：
F[0] = a
F[1] = b
F[n] = F[n-1] * F[n-2] ( n > 1 )
現在給出a, b, n，你能求出F[n]的值嗎？

Input

輸入包含多組測試資料；
每組資料佔一行，包含3個 



  
 

    


    
    
HDU 4549 M斐波那契數列（矩陣快速冪+費馬小定理）

     
 
                


M斐波那契數列
Time Limit: 3000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 65535/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 3476    Accepted Submi 



  
 

    


    
    
HDU  4549 M斐波那契數列（矩陣快速冪+費馬小定理）

     
 
                

這道題以為是很水的矩陣快速冪，把矩陣{1，1，1，0}進行快速冪乘遞推，ans[0][0]為a的指數，ans[0][1]為b的指數，但是瘋狂wa，百度搜題解發現用到了費馬小定理，A^X = A^( X mod phi(M) ) ( mod M )，又因為M為質數，所以ph 



  
 

    


    
    
2018.09.22【JSOI2008】【BZOJ1016】最小生成樹計數（矩陣樹定理）（並查集）

     
 
							
							
							傳送門

解析：
好的這是一道需要數學推理的矩陣樹題目。

首先我們考慮一個問題。
前置定理
我們先隨便做一棵最小生成樹。
重要定理：那麼在這棵生成樹中如果權值為www的邊有ttt條，那麼在所有最小生成樹中，權值為www的邊都有kkk條。
證明如下：
考慮在這棵 



  
 

    


    
    
2018.09.26【TJOI2017】【BZOJ4888】【洛谷P3760】異或和（樹狀陣列）（差分）

     
 
								
								            
							
							
							
洛谷傳送門

解析：
額，TJOITJOITJOI連續兩年考了位運算。。。
我還能說什麼。。。
PS:zxyoiPS:zxyoiPS:zxyoi不是天津oieroieroier。
思路：
一般位運算都 



  
 

    


    
    
2018.09.26【BZOJ4260】Codechef REBXOR（01Trie）

     
 
								
								            
							
							
							傳送門

解析：
這種要求分成兩段的問題，一般就是處理出一個字首最大和一個字尾最大。
然後O(n)O(n)O(n)掃一遍就好了。
那麼，怎麼求？
這種異或問題當然還是要01Trie01Trie01Tri 



  
 

    


    
    
2018.09.26【BZOJ4602】【洛谷P4079】【SDOI2016】齒輪（搜尋）（圖的遍歷）

     
 
								
								            
							
							
							洛谷傳送門


解析：
這道題O(V+E)O(V+E)O(V+E)就過了啊。。。
然而官方標解是並查集。。。
我。。。
思路：
只要按照圖的遍歷一邊跑一遍驗證就行了。
DFSDFSDFS比較好寫。

程 



  
 

    


    
    
2018.09.29【洛谷P2106】Sam數（數位DP）（矩陣快速冪）

     
 
								
								            
							
							
							傳送門

解析：
其實這種只用位數轉移的數位DPDPDP，大概都可以用矩陣快速冪推。本質原因是每層的轉移方程與這是第幾層無關，比如這道題。
思路：
可以發現一個很顯然的情況，就是上面說的，這道題可以矩陣 



  
 

    


    
    
2018.09.30【LOJ517】「LibreOJ β Round #2」計算幾何瞎暴力（01Trie）（二進位制拆分）

     
 
							
							
							傳送門

解析：
看到標題的dalaodalaodalao先不要急著錘我。。。
這道題的二進位制拆分和01Trie01Trie01Trie不能混在一起，不要急著說01Trie01Trie01Trie就是二進位制拆分。。。
思路：
這道題可以說是非常好的一道資料結 



  
 

    


    
    
2018.09.30【POJ3348】Cows（凸包）（三角剖分）

     
 
							
							
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解析：
讀優沒有寫負數又被卡了半個小時。。。
這裡採用JarrisJarrisJarris步進法求凸包。。主要講一講怎麼求多邊形面積。
思路：
滿足題意的顯然是這些點的凸包，而我們要做的就是求出凸包面積。
那麼怎麼求多邊形面積？
考慮三角剖分，我們將多 



  
 

    


    
    
2018.09.29【BZOJ1026】【洛谷P2657】【SCOI2009】windy數（數位DP）

     
 
								
								            
							
							
							
洛谷傳送門

解析：
由於資料範圍很小（相對於大部分數位DPDPDP題來說）。
我們只記錄當前位，當前位數字，是否是前導0，是否達到上界。
簡單DP記憶化搜尋一下就好了。

程式碼：
#include 



  
 

    


    
    
2018.09.28【Vijos1053】Easy sssp（SPFA判負環）

     
 
								
								            
							
							
							傳送門

解析：
深入理解SPFASPFASPFA的本質。
思路：
由於是佇列優化的Bellman−FordBellman-FordBellman−Ford，SPFASPFASPFA也具有判負環的功能， 



  
 

    


    
    
2018.09.29【HDU2089】不要62（數位DP）

     
 
								
								            
							
							
							傳送門

解析：
今天突然發現自己還沒寫過數位DPDPDP入門題。。。
思路：
我們從高位向低位DP，採用記憶化搜尋。
初始化fff陣列為−1-1−1，因為我們可能DPDPDP到某個狀態是沒有合法數的。 



  
 

    


    
    
2018.09.28【BZOJ4318】OSU!（期望DP）

     
 
							
							
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解析：
不錯的期望DP入門題。
思路：
首先，要是沒有明白期望的線性性。這道題是無法理解的。
一個常識，要維護高次，我們可以將高次展開，利用低次來維護。
所以我們同時維護長度的期望，長度平方的期望，長度立方的期望。
注意這裡可能就有人不懂了，長度平方的 



  
 

    


    
    
2018.09.18【BZOJ4517】【SDOI2016】排列計數（組合數學）（錯排問題）

     
 
							
							
							Description
求有多少種長度為 n 的序列 A，滿足以下條件：
1 ~ n 這 n 個數在序列中各出現了一次
若第 i 個數 A[i] 的值為 i，則稱 i 是穩定的。序列恰好有 m 個數是穩定的
滿足條件的序列可能很多，序列數對 10^9+7 取模。 



  
 

    


    
    
2018.11.08【CodeForces989】E. A Trance of Nightfall（矩陣快速冪）（倍增）

     
  
 
  
  
 傳送門 
  
 解析： 
 考場上本來想寫倍增來著結果發現這個東西可以矩陣快速冪轉移，所以倍增陣列就用來優化矩陣快速冪了。。。（省去每次求出轉移矩陣的一個
     
      
       
        
         O