概率論與數理統計——函式分佈
一、隨機變數
1、隨機變數（Random Variable）的定義：
設隨機試驗的樣本空間為S,若X= X (e)
為定義在S 上的實值單值函式，則稱X(e)為隨機變數,簡寫為X
2、說明
- 隨機變數
為一對映，其自變數具有隨機性；
- 隨機事件可以表示為
- 對於
,則必有
- 一般用大寫英文字母X,Y,Z或者希臘字母
等來表示隨機變數
二、離散型隨機變數
1、概念定義：
- 若隨機變數的取值為有限個或可數個,則稱 X 為離散型隨機變數
- 可數集（也稱可列集）：是指能與自然數集N建立一一對應的集合.即其中的元素都是可以被數到的.
- 不可數集：是無窮集合的一種.一個無窮集合和自然數集之間如果不存在一一對應關係.那麼它就是一個不可數集.
2、0—1分佈
（1）0—1分佈的定義：
若X 的概率分佈律為：
其中0<p<1, 就稱X 服從引數為p的0-1分佈(或兩點分佈),記為 X ~0-1(p)或 X ~B(1,p).
其分佈律還可以寫為P(X =k )=p k(1- p)，1-k,k =0,1.(X 服從退化分佈: 若 P( X = c) =1.)
（2）0—1分佈的應用
一個隨機試驗,設A是一隨機事件,且P(A)=p(0<p<1). 若僅考慮事件A發生與否,就可以定義一個服從引數為p的0-1分佈的隨機 變數:
設試驗E只有兩個可能的結果: A或A,且P ( A)= p,0<p <1.將E獨立地重複地進行n次，則稱這一串重複的獨立試驗為n重貝努利實驗.設X 表示 n重貝努利試驗中結果A發生的次數,則X的可能取值為0,1 ,
3、二項分佈
若X的概率分佈律為 其中
就稱X服從引數為n，p的二項分佈， 記為X~B（n，p），
可以證明： ,其中q=1-p.
4、泊松分佈
（1）泊松分佈的定義
若X的概率分佈律為
其中>0 ,就稱X服從引數為
的泊松分佈(Poisson),記為
根據泰勒展開式可得：
（2）如果某事件以固定強度λ,隨機且獨立地出現，該事件在單位時間內出現的次數（個數）可以看成是服從泊松分佈.
二項分佈與泊松分佈有以下近似公式：
當n>1,0<p<1時， ,其中
=np，
即當n>1,0<p<1時，二項分佈B(n,p)可以用泊松分佈 來近似。
5、幾何分佈
（1）定義
若X的概率分佈律為：
其中0<p<1,稱X服從引數為p的幾何分佈（Geometric），記為X~Geom(p).
（2）幾何分佈的用途
在重複多次的貝努裡試驗中，試驗進行到某種結果第一次出現為止，此時的試驗總次數服從幾何分佈。
三、分佈函式
（1）分佈函式的用途：可以給出隨機變數落入任意一個範圍的可能性
一般地，離散型隨機變數的分佈函式為階梯函式。
設離散型隨機變數X的分佈律為 P{X= }=
,k=1,2,...,X的分佈函式為
F(x)在x= ,(k=1,2,...)處有跳躍，其跳躍值為
=P{X=
}.
（2）F(X)的性質
單調不減，對於任意
,有
四、連續型隨機變數及其概率密度
1、定義：
對於隨機變數X的分佈函式F(x),若存在非負的函式f(x),使對於任意實數 x 有：
則稱X 為連續型隨機變數,其中f( x )稱為X的概率密度函式, 簡稱概率密度.有時也寫為fx(x)
2、f(x)的性質
(1)
(2)
五、均勻分佈和指數分佈
1、均勻分佈
2、指數分佈
（1）指數分佈定義：
若X的概率密度函式為
,
其中,就稱X服從引數為
的指數分佈(Exponential)記為X~E(
),或X~Exp(
).
分佈函式為
（2）性質(指數分佈具有無記憶性）
對於
（3）指數分佈用途
- 指數分佈可以用來表示獨立隨機事件發生的時間間隔，比如旅客進機場的時間間隔、中文維基百科新條目出現的時間間隔等等;
- 在排隊論中，一個顧客接受服務的時間長短也可用指數分佈來近似;
- 無記憶性的現象(連續時).
五、正態分佈
（1）定義
（2）標準正態分佈
六、隨機變數函式的分佈
已知隨機變數X 的分佈,Y=g(X),函式g(*)已知,求y的分佈. 一般，若已知X的概率分佈，Y=g(x)，求Y的概率分佈的過程為：
- 先給出Y的可能取值；再利用等價事件來給出概率分佈。
- 若X為離散型隨機變數，則先寫出Y的可能取值：
再找出{
} 的等價事件{
},得
- 若X為連續型隨機變數，先根據X的取值範圍，給出Y的取值範圍；然後攜程Y的概率分佈函式：
,找出{Y
y}的等價事件{
;再求出Y的概率密度函式
.
一般地，若隨機變數 ,則有