指示器隨機變數學習
目錄
介紹
給定事件\(A\)，設指示器隨機變數\(X_A=I\{A\}\)表示\(A\)是否發生，則
在一次實驗中，\(A\)的期望次數就是\(X_A\)的期望值，故
\[E(X_A)=P(A)\]
指示器隨機變數的優勢：
- 方便
期望與概率之間的轉換； - 期望
線性和性質與隨機變數之間是否獨立無關；
例題分析
指示器隨機變量表示的事件考慮一個因素
1，拋\(n\)次硬幣，正面朝上的期望數；
注意：拋n次硬幣和拋n個硬幣本質是一樣的。
普通解法：算正面朝上1、2、3...次的概率
\[E(X)=\sum_{k=1}^n k* {n \choose k} p^k (1-p)^{n-k}\]
簡便解法：指示器隨機變數按實驗進行的階段分解設定
設\(X\)為正面朝上的總數，\(X_k\)表示第\(k\)次實驗，發生了正面朝上事件；
\[E(X)=\sum_{k=1}^n E(X_k) = n*p\]
2，拋\(n\)次骰子，和的期望數；
普通解法：算和為1、2、3...的概率
簡便解法：
設\(X\)為和，\(X_k\)為第\(k\)次拋骰子的數。
\[E(X)=n*3.5\]
3，一個隨機的\(n\)排列，求滿足\(a[i]=i\)的元素數目期望；
普通解法：算數目為1、2、3...的概率；
簡便解法：
設\(X\)為元素數目，\(X_k\)為第\(k\)個元素滿足條件的事件；
\[E(X)=n*\frac{1}{n}=1\]
4，依次面試\(n\)個人，如果第\(i\)個人比前面所有人都優秀，則錄用這個應聘者。無論是否錄用，面試都繼續。求錄用總數的期望；
普通解法：算錄用1、2、3...次的概率，複雜不求解
簡便解法：
設\(X\)為錄用總數，\(X_k\)為第\(k\)個應聘者被錄用的事件。
\[E(X)=\sum_{k=1}^n E(X_k)=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \approx \ln n\]
5，禮券收集問題
要收齊\(n\)種券需要的期望券數；
普通解法：算券數為n、n+1、n+2...的概率
簡便解法：
設\(X\)為券總數，\(X_k\)表示事件：在第\(k\)種券收集齊後，到收集第\(k+1\)
\[E(X)=\sum_{k=0}^{n-1} E(X_k)=\sum_{k=0}^{n-1} \frac{n}{n-k}\approx n\ln n\]
練習1：
\(n\)個球投\(m\)個箱子，求空箱子的期望數，有\(2\)個球的箱子的期望數；
設\(X\)表示有\(2\)個球的箱子的數目，\(X_k\)表示第\(k\)個箱子有\(2\)個球；
\[E(X)=\sum_{k=1}^m E(X_k) = m* {n \choose 2}(\frac{1}{m})^2 (\frac{m-1}{m})^{n-2} \]
練習2：
\(n\)個人在樓底進入電梯，樓上有\(m\)層，每個乘客在任一樓層下電梯的概率相同。求電梯上無人時，停靠次數的期望；
\[E(X)=m*(1-(\frac{m-1}{m})^n)\]
練習3：
Chinese restaurant process中桌子的期望數；
指示器隨機變量表示的事件考慮兩(多)個因素
1，一個隨機的\(n\)排列，求逆序對的數目期望；
普通解法：算數目為1、2、3...的概率；
簡便解法：指示器隨機變量表示的事件考慮了兩(多)個因素
設\(X\)為逆序對的數目，\(X_{ij}\)表示\(a[i] \gt a[j], i \lt j\)的事件；
\[E(X)=\sum_{i=1}^n \sum_{j=i+1}^{n-1} E(X_{ij})= \frac{n(n-1)}{2} *\frac{1}{2}=\frac{n(n-1)}{4}\]
2，\(n\)個人，\(k\)個人同生日的對數的期望數；
普通解法：算對數為1、2、3...的概率
簡便解法：
設\(X\)為同生日的對數，\(X_{i_1, i_2, ...,i_k}\)表示這\(k\)個人同生日；
\[E(X)={n \choose k} E(X_{i_1, i_2, ...,i_k})={n \choose k} *(\frac{1}{365})^{k-1}\]
參考
《演算法導論》第5章
生日問題
1，\(n\)個人，存在一對人同生日的概率：
\[p(n)=1-\prod_{k=1}^n \frac{365-k+1}{365}\]
當生日是分佈均勻時，僅需23個人，有同生日的比率就高達50%；
現實中，生日的分佈是不均勻的，這導致有同生日的比率更高了；
2，\(n\)個人，存在一個人與我同生日的概率：
\[q(n)=1-\prod_{k=1}^n\frac{365-1}{365}\]
當生日是分佈均勻時，需250個人，與我同生日的比率才到達50%；
3，所有人排隊進入房間，第幾號人進來後，房間內第一次產生一對人同生日的概率最大；
考慮\(p(n)\)的遞推公式：
前\(n\)個人開獎=前\(n-1\)個人已經開獎+前\(n-1\)個人沒開獎且恰好第n個人開獎；
故答案就是找\(p(n)-p(n-1)\)最大時的\(n\)；