一、常用的離散型隨機變數及其概率分佈

1、（0-1）分佈（伯努利分佈(Bernoulli distribution)、兩點分佈）

如果隨機變數Ｘ 只可能取０與１兩個值，其概率分佈為：

或寫成
則稱隨機變數Ｘ 服從（０－１）分佈或兩點分佈．它的概率分佈也可以寫成

2、二項分佈

在ｎ重伯努利試驗中，如果以Ｘ表示事件Ａ 出現的次數，則Ｘ是一個離散型隨機變數，它的所有可

能取值是０，１，２，⋯，ｎ．設Ｐ（Ａ）＝ ｐ（０＜ ｐ＜１）。典型例子是扔硬幣，硬幣正面朝上概率為p, 重複扔n次硬幣，k次為正面的概率即為一個二項分佈概率。概率函式為

顯然，

3、多項式分佈

把二項分佈公式再推廣，就得到了多項分佈。比如扔骰子，不同於扔硬幣，骰子有6個面對應6個不

同的點數，這樣單次每個點數朝上的概率都是1/6（對應p1~p6，它們的值不一定都是1/6，只要和為1且

互斥即可，比如一個形狀不規則的骰子）,重複扔n次，如果問有x次都是點數6朝上的概率就是：

4、幾何分佈

設試驗Ｅ只有兩個可能的對立的結果Ａ 及Ａ非，並且Ｐ（Ａ）＝ ｐ，Ｐ（Ａ非）＝１－ ｐ，其中０＜ ｐ＜１．將試驗Ｅ獨立地重複進行下去，直到事件Ａ發生為止．如果以Ｘ表示所需要的試驗次數，則Ｘ是一個隨機變數，它可能取的值是１，２，３，⋯．由於事件｛Ｘ ＝ ｋ｝表示前ｋ－１次試驗中事件Ａ都沒有發生，而在第ｋ次試驗中事件Ａ 發生，因此

我們稱隨機變數Ｘ 服從幾何分佈。

5、泊松分佈

設隨機變數Ｘ 的所有可能取值為０，１，２，⋯，並且

其中λ＞０是常數，則稱隨機變數Ｘ服從引數為λ的泊松分佈，記作Ｘ～π（λ）．易知

在實際問題中經常會遇到服從泊松分佈的隨機變數．例如，在一個長為τ的時間間隔內某電話交換臺收到的電話呼叫次數；某醫院在一天內來急診的病人數；某一本書的一頁中的印刷錯誤數等都服從泊松分佈．

二、連續型隨機變數及其概率密度

1、均勻分佈

設連續型隨機變數Ｘ 的概率密度為：
則稱Ｘ在區間［ａ，ｂ］上服從均勻分佈．Ｘ 的分佈函式為

Ｘ的概率密度和分佈函式的圖形分別如圖所示：

2、指數分佈

設連續型隨機變數Ｘ 具有概率密度

其中θ＞０是常數，則稱Ｘ服從引數為θ的指數分佈．Ｘ的分佈函式為

Ｘ的概率密度及分佈函式的圖形分別如圖所示：

實際問題中的許多隨機變數，例如電子元件的壽命，旅客在車站售票處購買車票需要等待的時間等都可以看成是服從指數分佈。

3、正態分佈

設隨機變數Ｘ 具有概率密度
其中μ，σ（σ＞０）為常數，則稱Ｘ服從引數為μ，σ的正態分佈，記作Ｘ～ Ｎ（μ，σ２）．Ｘ的分佈函式為

它們的圖形分別如圖所示：

容易看到概率密度曲線ｙ＝ ｆ（ｘ）關於直線ｘ＝ μ對稱，並在ｘ＝ μ處取得最大值，在橫座標ｘ＝ μ± σ處有拐點，以ｘ軸為水平漸近線．
如果μ＝０，σ＝１，則稱Ｘ服從標準正態分佈，記作Ｘ～Ｎ（０，１）．它的概率密度及分佈函式分別記作φ（ｘ）與Φ（ｘ），即


參考資料：隨機數學 吉林大學數學學院 高文森，潘偉　主編