伯努利分佈（二點分佈）

伯努利分佈亦稱“零一分佈”、“兩點分佈”。稱隨機變數X有伯努利分佈, 引數為p(0<p<1),如果它分別以概率p和1-p取1和0為值。EX= p,DX=p(1-p)。伯努利試驗成功的次數服從伯努利分佈,引數p是試驗成功的概率。伯努利分佈是一個離散型機率分佈，是N=1時二項分佈的特殊情況，為紀念瑞士科學家詹姆斯·伯努利(Jacob Bernoulli 或James Bernoulli)而命名。一個非常簡單的試驗是隻有兩個可能結果的試驗，比如正面或反面，成功或失敗，有缺陷或沒有缺陷，病人康復或未康復。為方便起見，記這兩個可能的結果為0和1，下面的定義就是建立在這類試驗基礎之上的。如果

隨機變數X只取0和1兩個值，並且相應的概率為：

X 服從 (0-1)分佈或兩點分佈.記為X~b(1,p)則稱隨機變數X服從引數為p的伯努利分佈，若令q=1一p，則X的概率函式可寫為：

要證明該概率函式

確實是公式所定義的伯努利分佈，只要注意到

，就很容易得證。如果X服從引數為p的伯努利分佈，則：

並且，

進而，X的矩母函式為：

二項分佈

二項分佈就是重複n次獨立的伯努利試驗。在每次試驗中只有兩種可能的結果，而且兩種結果發生與否互相對立，並且相互獨立，與其它各次試驗結果無關，事件發生與否的概率在每一次獨立試驗中都保持不變，則這一系列試驗總稱為n重伯努利實驗，當試驗次數為1時，二項分佈服從0-1分佈。

二項分佈（Binomial Distribution），即重複n次的

伯努利試驗（Bernoulli Experiment），用ξ表示隨機試驗的結果。如果事件發生的概率是P,則不發生的概率q=1-p，N次獨立重複試驗中發生K次的概率是

數學期望：Eξ=np；方差：Dξ=npq；其中q=1-p證明：由二項式分佈的定義知，隨機變數X是n重伯努利實驗中事件A發生的次數，且在每次試驗中A發生的概率為p。因此，可以將二項式分佈分解成n個相互獨立且以p為引數的（0-1）分佈隨機變數之和.設隨機變數X（k）(k=1,2,3...n)服從（0-1）分佈，則X=X(1)+X(2)+X(3)....X(n).因X(k)相互獨立，所以期望：

方差：

1．在每次試驗中只有兩種可能的結果，而且是互相對立的；2．每次實驗是獨立的，與其它各次試驗結果無關；3．結果事件發生的概率在整個系列試驗中保持不變，則這一系列試驗稱為伯努利實驗。在這試驗中，事件發生的次數為一隨機事件，它服從二次分佈。二項分佈可
以用於可靠性試驗。可靠性試驗常常是投入n個相同的式樣進行試驗T小時，而只允許k個式樣失敗，應用二項分佈可以得到通過試驗的概率。若某事件概率為p，現重複試驗n次，該事件發生k次的概率為：P=C(n,k)×p^k×(1-p)^(n-k)。C(n,k)表示組合數，即從n個事物中拿出k個的方法數。

性質（一）二項分佈是離散型分佈，概率直方圖是躍階式的。因為x為不連續變數，用概率條圖表示更合適，用直方圖表示只是為了更形象些。1．當p=q時圖形是對稱的例如，

，p=q=1/2，各項的概率可寫作：

2．當p≠q時，直方圖呈偏態，p<q與p>q的偏斜方向相反。如果n很大，即使p≠q，偏態逐漸降低，最終成正態分佈，二項分佈的極限分佈為正態分佈。故當n很大時，二項分佈的概率可用正態分佈的概率作為近似值。何謂n很大呢?一般規定：當p<q且np≥5，或p>q且nq≥5，這時的n就被認為很大，可以用正態分佈的概率作為近似值了。（二）二項分佈的平均數與標準差如果二項分佈滿足p<q，np≥5，(或p>q，np≥5)時，二項分佈接近正態分佈。這時，也僅僅在這時，二項分佈的x變數(即成功的次數)具有如下性質：

即x變數具有μ = np，的正態分佈。

泊松分佈

Poisson分佈（法語：loi de Poisson，英語：Poisson distribution，譯名有泊松分佈、普阿鬆分佈、卜瓦松分佈、布瓦松分佈、布阿鬆分佈、波以鬆分佈、卜氏分配等），是一種統計與概率學裡常見到的離散概率分佈，由法國數學家西莫恩·德尼·泊松（Siméon-Denis Poisson）在1838年時發表。泊松分佈的概率函式為：

泊松分佈的引數λ是單位時間(或單位面積)內隨機事件的平均發生率。泊松分佈適合於描述單位時間內隨機事件發生的次數。泊松分佈數學期望和方差：
泊松分佈的數學期望和方差均為

特徵函式為

柏鬆分佈應用示例

泊松分佈適合於描述單位時間（或空間）內隨機事件發生的次數。如某一服務設施在一定時間內到達的人數，電話交換機接到呼叫的次數，汽車站臺的候客人數，機器出現的故障數，自然災害發生的次數，一塊產品上的缺陷數，顯微鏡下單位分割槽內的細菌分佈數等等。觀察事物平均發生m次的條件下，實際發生x次的概率P（x）可用下式表示：