費馬小定理：

假如p是素數，且(a,p)=1,那麼a^(p-1)≡1(mod p)

ps:a≡b(modm)表示a,b對模m的餘數相同,如3三5(mod2)等

證明略

注意：

1、費馬小定理只能在 gcd(a,p)=1 條件成立時使用

2、費馬定理是，已知素數p，得到 。但是已知  並不能確定p是素數。

3、 若  ，則p一定為合數（費馬定理的逆反命題）。

費馬小定理在acm中的應用：

① 判斷素數，對於大素數的判定，Miller-Rabin 素數判定 
②求解逆元 ，設a模p的逆元為x，則a*x≡1(mod p) ,(a,p)=1;由費馬小定理可以知道x=a^(p-2) 
③對於計算a^b(modp)    a^b(modp) 可簡化 
            對於素數p，任取跟他互素的數a，有a^(p-1)(mod p)=1 
            所以任取b，有a^b%p=a^(b%(p-1))(%p)從而簡化運算。 

①、判斷素數模板（利用(a^p-1)%p是否等於1 來判斷 是不是素數）

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <ctime>
#include <cmath>
using namespace std;
#define ll long long
//求a^p%mod
ll quick_pow(ll a,ll p,ll mod)
{
    ll ans=1;
    a=a%mod;
    while(p)
    {
        if(p&1)
            ans=ans*a%mod;
        a=a*a%mod;
        p>>=1;
    }return ans;
}
/*
測試 n 是否為素數 s 為 測試次數 (一般為4次)
是素數 返回 1 不是素數 返回 0
*/
int Miller_Rabbin(ll n,int s)
{
    ll a;
    srand(time(NULL));
    for(int i=1;i<=s;i++)
    {
        a=1+rand()%(n-1);
        if(quick_pow(a,n-1,n)!=1)
            return 0;
    }return 1;
}
int main()
{
    ll n;
    while(cin>>n)//"n=1 的時候特判一下"
    {
        if(n==1) cout<<"   不是素數"<<endl;
        else
        if(Miller_Rabbin(n,4))
            cout<<"   是素數"<<endl;
        else cout<<"   不是素數"<<endl;
    }return 0;
}
/*
1
   不是素數
23
   是素數
2
   是素數
3
   是素數
4
   不是素數
5
   是素數
6
   不是素數

*/
 

 ②求解逆元

逆元類似導數的性質 （為什麼不是相等呢？搞不懂 (╥╯^╰╥) 迷之數論）

接下來引入求餘概念

(a +  b) % p = (a%p +  b%p) %p  （對）

(a  -  b) % p = (a%p  -  b%p) %p  （對）

(a  *  b) % p = (a%p *  b%p) %p  （對）

(a  /  b) % p = (a%p  /  b%p) %p  （錯）--> 除法是不能直接取模的哦 反例：(100/50)%20 = 2  ≠  (100%20) / (50%20) %20 = 0

所以就要藉助逆元了，來把除法轉化成乘法；

a的逆元，我們用inv(a)來表示

那麼-------------------->>>

(a  /  b) % p = (a * inv(b) ) % p = (a % p * inv(b) % p) % p  （ p 是質數且 gcd(a, p) = 1，a才有關於p的逆元）

 利用費馬小定理：a^(p-1)≡1(mod p)   -->   a^(p-2)≡1/a(mod p)   -->   a^(p-2)≡ inv(a) (mod p);

所以 ： inv（a）= a^(p-2)(mod p) ; 

利用快速冪求，

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <ctime>
#include <cmath>
using namespace std;
#define ll long long
ll quick_pow(ll a,ll b,ll mod)
{
    ll ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)
            ans=ans*a%mod;
        a=a*a%mod;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
ll Fermat(ll a,ll p) //a 關於 p的逆元
{
    return quick_pow(a,p-2,p);
}
int main()
{
    ll a,p;
    double ans=0;
    cin>>a>>p;
    ans=Fermat(a,p);
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

③簡化計算。還是利用快速冪