描述

小明今天很開心，家裡購置的新房就要領鑰匙了，新房裡有一間他自己專用的很寬敞的房間。更讓他高興的是，媽媽昨天對他說：“你的房間需要購買哪些物品，怎麼佈置，你說了算，只要不超過N 元錢就行”。今天一早小明就開始做預算，但是他想買的東西太多了，肯定會超過媽媽限定的N 元。於是，他把每件物品規定了一個重要度，分為5 等：用整數1~5 表示，第5 等最重要。他還從因特網上查到了每件物品的價格（都是整數元）。他希望在不超過N 元（可以等於N 元）的前提下，使每件物品的價格與重要度的乘積的總和最大。設第j 件物品的價格為v[j]，重要度為w[j]，共選中了k 件物品，編號依次為j1...jk，則所求的總和為：v[j1]*w[j1]+..+v[jk]*w[jk]請你幫助金明設計一個滿足要求的購物單.

輸入

第一行輸入一個整數N(0<N<=101)表示測試資料組數
每組測試資料輸入的第1 行，為兩個正整數，用一個空格隔開：
N m
（其中N（<30000）表示總錢數，m(<25)為希望購買物品的個數。）
從第2 行到第m+1 行，第j 行給出了編號為j-1
的物品的基本資料，每行有2 個非負整數
v p
（其中v 表示該物品的價格（v≤10000），p 表示該物品的重要度（1~5））

輸出

每組測試資料輸出只有一個正整數，為不超過總錢數的物品的價格與重要度乘積的總和的
最大值（<100000000）

樣例輸入

1
1000 5
800 2
400 5
300 5
400 3
200 2

樣例輸出

3900

最經典的0-1揹包問題，這裡用dp[i][j]表示在價格不超過j的情況下，前i個物品所能到達的價格與重要度乘積的最大值。

若將第i個物品放入揹包，記其價格為money，重要度為value：

dp[i][j]為dp[i-1][j]與dp[i-1][j-money]+value中的較大值，意思是遍歷到第i個物品時，如果錢足夠，是否將其放入揹包，前者為不放，後者為放入。這就是核心操作了orz。

當然前提是j-money大於等於0，程式碼中需要注意。

#include <cstdio>
int Max(int x,int y)
{
    return x>y?x:y;
}
struct M
{
    int money;
    int value;
}list[30];
int dp[30][30001];
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    while(n--)
    {
        int m,N;
        scanf("%d%d",&m,&N);
        for(int i=1;i<=N;i++)
        {
            scanf("%d%d",&list[i].money,&list[i].value);
        }
        for(int i=0;i<=m;i++)
        {
            dp[0][i]=0;
        }
        for(int i=1;i<=N;i++)
        {
            for(int j=m;j>=list[i].money;j--)
            {
                dp[i][j]=Max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-list[i].money]+list[i].value*list[i].money);
            }
            for(int j=list[i].money-1;j>=0;j--)
            {
                dp[i][j]=dp[i-1][j];
            }
        }
        printf("%d\n",dp[N][m]);
    }
    return 0;
}
 

時間複雜度為O(m*N)；分析

dp[i][j]=Max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-list[i].money]+list[i].value*list[i].money);

可以發現，dp[i][j]僅與其上一行有關，所以可以壓縮為一維陣列。

#include <cstdio>
struct M
{
    int value;
    int money;
}list[26];
int Max(int x,int y)
{
    return x>y?x:y;
}
int dp[30001];
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    while(n--)
    {
        int N,m;
        scanf("%d%d",&N,&m);
        for(int i=1;i<=m;i++)
        {
            scanf("%d%d",&list[i].money,&list[i].value);
        }
        for(int j=0;j<=N;j++)
        {
            dp[j]=0;
        }
        for(int i=1;i<=m;i++)
        {
            for(int j=N;j>=list[i].money;j--)
            {
                dp[j]=Max(dp[j],dp[j-list[i].money]+list[i].value*list[i].money);
            }
        }
        printf("%d\n",dp[N]);
    }
    return 0;
}

時間複雜度為O(N)。

ps：dp陣列應設定成全域性變數，否則不夠用。

        runTimeError多是因為陣列開的略小造成的。