導語

   今天，我們介紹的是排序演算法經典的一種排序演算法，這個演算法是插入排序。

相信大家都玩過紙牌。插入排序的工作方式就像許多人排序一手撲克牌。

開始時，我們的左手為空並且桌子上的牌面朝下（意味著我們不在翻開之前並不知道下一張牌是多大的）。

然後，我們每次從那些牌中選出一張牌，並把它插入到正確的位置（一般我們認為左邊的最小），我們從左到右（或從右到左）將它與已在手中的每張牌進行比較。

動態圖演示如下:

演算法分析

對於插入排序，我們將虛擬碼的過程命名為INSERTION-SORT
其中

1. 引數是A[1..N]，為長度n的一個需要排序的序列。
2. A.length表示陣列A中元素的數量

該演算法在陣列A中重排這些數，在任何時候，最多隻有其中的常數個數字儲存在陣列外面。

等INSERTION-SORT結束時，輸入陣列A包含排序好的輸出序列。

演算法虛擬碼

INSERTION-SORT（A）
1   for j=2 to A.length
2       key = A[j]
3       //Insert A[j] into the sorted sequence A[1..j-1]
4       i = j - 1
5       while i > 0 and A[i] > key
6           A[i+1] = A[i]
7           i = i - 1
 

8       A[i+1]=key

圖示分析

演算法複雜度分析

INSERTION-SORT(A)	代價	次數
for j=2 to A.length	c1	n
key = A[j]	c2	n−1
i = j - 1	c3	n−1
while i > 0 and A[i] > key	c4	∑nj=2tj
A[i+1] = A[i]	c5	∑nj=2(tj−1)
i = i - 1	c6	∑nj=2(tj−1)
A[i+1]=key	c 7	n−1

該演算法的執行時間是執行每條語句的執行時間之和。基於此，我們可以計算在具有n個值輸入上INSERTION-SORT(A)的執行時間T[n]，我們將代價與次數列對應元素之積求和，得

T(n)=c1n+c2(n−1)+c3(n−1)+c4∑j=2ntj+c5∑j=2n(tj−1)+c6∑j=2n(tj−1)+c7(n−1)

最好情況下:

對於給定的n個需要排序的，若輸入已排序，則出現最佳情況。這個時候，對於j=2,3，….,n，可以發現，當i取初值j-1時，有A[i]≤key。從而對j=2,3,…，n有tj=1,也就是說只需要比較一次。

我估計說到這裡，有些人看不懂，我就簡單的說吧：

假設現在你左手中的牌都是已經排好序了的，而且是從小到大排序，現在你手上拿了一張牌，比你左手上的牌最右邊（即是你手中牌中最大）還要大，那麼你一定要保證牌是從小到大的排序，必然會把牌之間放在你牌的最右邊。而這個過程，你只是和你本來有的牌的最大一張比較了一次。

所以最好的情況下的時間複雜度Tn為:

T(n)=c1n+c2(n−1)+c3(n−1)+c4(n−1)+c7(n−1)=(c1+c2+c3+c4+c7)n−(c1+c2+c3+c4)
即T(n)=an+b

其中a和b依賴於語句代價ci。

我們可以得出一個結論:

在最好情況下，插入排序的時間複雜度在O(n)，即線性時間上完成排序。

最壞情況下:

若輸入陣列已方向排序，即按照遞減排序排好了序,則導致最壞情況。我們必須把每個元素A[j]與整個已排序子陣列A[1..j-1]中的每個元素都要進行比較，所以對j=2,3,…,n，有tj=j。

我估計有人問為什麼tj=j，那麼我就這樣告訴你吧:

tj是while語句進行比較語句的執行的次數，最後一次是進行i>0的判斷，所以A[1..j-1]與A[j]實際上進行了j-1次比較，那麼為什麼進行j-1次比較呢，我們這麼想，j代表我要加入第幾張牌，我就以j=3來說，我即將加入第3張牌進入我左手的牌中（左手有兩張牌，已經升序排列了好了），而這個牌比前面2個都要小，那麼我是需要和比較兩次才知道的，所以一共比較j-1次。

值得注意的是，這時候的

∑j=2

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