面試題43：n個骰子的點數

題目：把n個骰子仍在地上，所有骰子朝上一面的點數之和為s。輸入n，打印出s的所有可能的值出現的概念。
解法一：基於遞迴求骰子點數，時間效率不夠高
要想求出n個骰子的點數和，可以先把n個骰子分成兩堆：第一堆只有一個，另一堆有n-1個。單獨的那一個有可能從1到6的點數。我們需要計算從1到6的每一種和剩下的n-1個骰子來計算點數和。接下來把剩下的n-1個骰子還是分成兩堆，第一堆只有一個，第二堆有n-2個。我們把上一輪那個單獨骰子的點數和這一輪骰子的點數相加，再和剩下的n-2個骰子來計算點數和。分析到這裡，不難發現這是一種遞迴的思想，遞迴結束條件就是最後只剩下一個骰子。

int g_maxValue = 6;
void PrintProbability(int number)
{
    if(number < 1)
        return;

    int maxSum = number*g_maxValue;
    int* pProbabilities = new int[masSum -number +1];
    for(int i = number;i <= maxSum; ++i)
        pProbabilities[i-number] = 0;

    Probability(number,pProbabilities);

    int
 
 total = pow((double)g_maxValue,number);
    for(int i = number;i <= maxSum;++ i)
    {
        double ratio =(double)pProbabilities[i - number] / total;
        printf("%d:%e\n",i,ratio);
    }
    delete[] pProbabilities;
}

void Probability(int number,int* pProbabilities)
{
    for(int i = 1;i <= g_maxValue; ++i)
        Probability(number,number,i,pProbabilities);
}

void
 
 Probability(int original,int current,int sum,int* pProbabilities)
{
    if(current == 1)
    {
        pProbabilities[sum - original]++;
    }
    else
    {
        for(int i = 1;i <= g_maxValue; ++i)
        {
            Probability(original,current - 1,i + sum,pProbabilities);
        }
    }
}

上述思路很簡潔，實現起來很容易。但由於是基於遞迴的實現，它有很多計算是重複的，從而導致當number變大時效能慢得讓人不能接受。

解法二：基於迴圈求骰子點數，時間效能好
我們可以考慮用兩個陣列來儲存骰子點數的每一個總數出現的次數。在一次迴圈中，第一個陣列中的第n個數字表示骰子和為n出現的次數。在下一迴圈中，我們加上一個新的骰子，此時和為n的骰子出現的次數應該等於上一次迴圈中骰子點數和為n-1、n-2、n-3、n-4、n-5與n-6的次數的總和，所以我們把另一個數組的第n個數字設為前一個數組對應的第n-1、n-2、n-3、n-4、n-5與n-6之和。其程式碼如下：

int g_maxValue = 6;
void PrintProbability(int number)
{
    if(number < 1)
        return;
    int* pProbabilities[2];
    pProbabilities[0] = new int[g_maxValue*number +1];
    pProbabilities[1] = new int[g_maxValue*number +1];
    for(int i = 0;i < g_maxValue * number + 1;++i)
    {
        pProbabilities[0][i] = 0;
        pProbabilities[1][i] = 0;
    }

    int flag = 0;
    for(int i = 1;i <= g_maxValue; ++i)
        pProbabilities[flag][i] = 1;
    for(int k = 2;k <= number; ++k)
    {
        for(int i = 0;i<k;++i)
            pProbabilities[1-flag][i] = 0;

        for(int i=k; i<= g_maxValue*k; ++i)
        {
            pProbabilities[1-flag][i] = 0;
            for(int j=1;j<=i && j<=g_maxValue;++j)
                pProbabilities[1-flag][i]+=pProbabilities[flag][i-j];
        }
        flag = 1-flag;
    }

    double total = pow((double)g_maxValue,number);
    for(int i = number;i <= g_maxValue*number; ++i)
    {
        double ratio =(double)pProbabilities[flag][i] / total;
        printf("%d: %e\n",i,ratio);
    }

    delete[] pProbabilities[0];
    delete[] pProbabilities[1];
}

面試題45：圓圈中最後剩下的數字
題目：0，1，…，n-1這n個數字排成一個圓圈，從數字0開始每次從這個圓圈裡刪除第m個數字。求出這個圓圈裡剩下的最後一個數字。
經典的解法，用環形連結串列模擬圓圈

int LastRemaining(unsigned int n,unsigned int m)
{
    if(n < 1 || m < 1)
        return -1;

    unsigned int i = 0;

    list<int> numbers;
    for(i = 0;i < n;++i)
        numbers.push_back(i);
    list<int>::iterator current = numbers.begin();
    while(numbers.size() > 1)
    {
        for(int i =1;i<m;++i)
        {
            current++;
            if(current == numbers.end())
                current = numbers.begin();
        }

        list<int>::iterator next = ++current;
        if(next == numbers.end())
            next = numbers.begin();

        --current;
        numbers.erase(current);
        current = next;
    }
    return *(current);
}

上述程式碼的執行中，我們會發現實際上需要在環形連結串列裡重複遍歷很多遍。重複的遍歷當然對時間效率有負面的影響。這種方法沒刪除一個數字需要m步運算，總共有n個數字，因此總的時間複雜度是O(mn)。同時還需要一個輔助連結串列來模擬圓圈，其空間複雜度是O(n)。

創新的解法：

int LastRemaining(unsigned int n,unsigned int m)
{
    if(n < 1 || m < 1)
        return -1;

    int last = 0;
    for(int i=2;i <= n;i ++)
        last =(last +m) %i;
    return last;
}

參考資料《劍指Offer》