【概述】
計算xy % n;如果採用常規方法，當x與y都比較小的情況下，採用直接計算可以，但是如果當x跟y都非常大的時候，如21000 % 100000，那該如何解決呢？
【離散數學有關餘數知識點補充】
重視餘數的性質：
1. (a+b)％m == (a％m+b％m)％m
2. a*b%c=((a%c)*b)%c
3. ab%c=(a%c)b%c

下面是講解快速冪：（By 夜せ︱深 感謝作者）

快速冪取模演算法

在網站上一直沒有找到有關於快速冪演算法的一個詳細的描述和解釋，這裡，我給出快速冪演算法的完整解釋，用的是C語言，不同語言的讀者只好換個位啦，畢竟讀C的人較多~
所謂的快速冪，實際上是快速冪取模的縮寫，簡單的說，就是快速的求一個冪式的模(餘)。在程式設計過程中，經常要去求一些大數對於某個數的餘數，為了得到更快、計算範圍更大的演算法，產生了快速冪取模演算法。

我們先從簡單的例子入手：求ab % c = ?

【演算法1.首先直接地來設計這個演算法：】

//直接算出a^b的結果
int ans = 1;
for(int i = 1;i<=b;i++)
{
ans = ans * a;
}
ans = ans % c;

那麼，我們先來看看第一個改進方案：在講這個方案之前，要先有這樣一個公式（開頭概述裡已經紅色字型標出了）：
a∗b%c=(a%c)∗b%c
這個公式大家在離散數學或者數論當中應該學過，不過這裡為了方便大家的閱讀，還是給出引理：
引理1：ab%c = (a%c)b%c
上面公式為下面公式的引理，即積的取餘等於取餘的積的取餘。證明了以上的公式以後，我們可以先讓a關於c取餘，這樣可以大大減少a的大小，
於是不用思考的進行了改進：

【演算法2：】

int ans = 1;
a = a % c; //加上這一句,先對a取餘
for(int i = 1;i<=b;i++)
{
    ans = ans * a;
}
ans = ans % c;

聰明的讀者應該可以想到，既然某個因子取餘之後相乘再取餘保持餘數不變，那麼新算得的ans也可以進行取餘，所以得到比較良好的改進版本。
【演算法3】

int ans = 1;
a = a % c; //加上這一句,先對a取餘
for(int i = 1;i<=b;i++)
{
  ans = (ans * a) % c;//這裡再取了一次餘【改進】
}
ans = ans % c;
 

這個演算法在時間複雜度上沒有改進，仍為O(b)，不過已經好很多的，但是在c過大的條件下，還是很有可能超時，所以，我們推出以下的快速冪演算法。
快速冪演算法依賴於以下明顯的公式，我就不證明了

那麼我們可以得到以下演算法：

【演算法4：】

int ans = 1;
a = a % c;
if(b%2==1)
ans = (ans * a) mod c; //如果是奇數，要多求一步，可以提前算到ans中

k = (a*a) % c; //我們取a^2而不是a
for(int i = 1;i<=b/2;i++)
{
ans = (ans * k) % c;
}
ans = ans % c;

我們可以看到，我們把時間複雜度變成了O(b/2).當然，這樣子治標不治本。但我們可以看到，當我們令k = (a * a) mod c時，狀態已經發生了變化，我們所要求的最終結果即為(k)b/2 mod c而不是原來的ab mod c，所以我們發現這個過程是可以迭代下去的。當然，對於奇數的情形會多出一項a mod c，所以為了完成迭代，當b是奇數時，我們通過
ans = (ans * a) % c;來彌補多出來的這一項，此時剩餘的部分就可以進行迭代了。
形如上式的迭代下去後，當b=0時，所有的因子都已經相乘，演算法結束。於是便可以在O（log b）的時間內完成了。於是，有了最終的演算法：快速冪演算法。

【演算法5：快速冪演算法】

int ans = 1;
a = a % c;
while(b>0)
{
    if(b % 2 == 1)
        ans = (ans * a) % c;
    b = b/2;
    a = (a * a) % c;
}

將上述的程式碼結構化，也就是寫成函式：

int PowerMod(int a, int b, int c)//快速冪取餘a^b%c
{
   int ans = 1;
   a = a % c;
   while(b>0)
   {
    if(b % 2 = = 1)
         ans = (ans * a) % 
    b = b/2;
    a = (a * a) % c;

   }
return ans;
}

本演算法的時間複雜度為O（logb），能在幾乎所有的程式設計（競賽）過程中通過，是目前最常用的演算法之一。

附上比較流行的快速冪取餘程式碼

int mod_exp(int a, int b, int c)        //快速冪取餘a^b%c
{
    int res, t;
    res = 1 % c; 
    t = a % c;
    while (b)
    {
        if (b & 1)//b的二進位制和1的二進位制進行位的按位與運算，其實等價於if(b%2==1)起到判斷奇偶的功能，但計算機的位運算比較快。
        {
            res = res * t % c;
        }
        t = t * t % c;
        b >>= 1;//即b=b>>1 b的二進位制數右移一位賦值給b，右移時高位空缺補零。類比十進位制數100右移相當於100/10=10;b>>1 等價於b/2;但計算機的位運算比較快。
    }
    return res;
}