貝塞爾曲面



這篇教程旨在介紹貝塞爾曲面，希望有比我更懂藝術的人能用她作出一些很COOL的東東並且展示給大家。教程不能用做一個完整的貝塞爾曲面庫，而是一個展示概念的程式讓你熟悉曲面怎樣實現的。而且這不是一篇正規的文章，為了方便理解，我也許在有些地方術語不當；我希望大家能適應這個。最後，對那些已經熟悉貝塞爾曲面想看我寫的如何的，真是丟臉；-）但你要是找到任何紕漏讓我或者NeHe知道，畢竟人無完人嘛？還有，所有程式碼沒有象我一般寫程式那樣做優化，這是故意的。我想每個人都能明白寫的是什麼。好，我想介紹到此為止，繼續看下文！

數學：：惡魔之音：：（警告：內容有點長~）

好，如果想理解貝塞爾曲面沒有對其數學基本的認識是很難的，如果你不願意讀這一部分或者你已經知道了關於她的數學知識你可以跳過。首先我會描述貝塞爾曲線再介紹生成貝塞爾曲面。
奇怪的是，如果你用過一個圖形程式，你就已經熟悉了貝塞爾曲線，也許你接觸的是另外的名稱。它們是畫曲線的最基本的方法，而且通常被表示成一系列點，其中有兩個點與兩端點表示左右兩端的切線。下圖展示了一個例子。



這是最基礎的貝塞爾曲線（長點的由很多點在一起（多到你都沒發現））。這個曲線由4個點定義，有2個端點和2箇中間控制點。對計算機而言這些點都是一樣的，但是特意的我們通常把前後兩對點分別連線，因為他們的連線與短點相切。曲線是一個引數化曲線，畫的時候從曲線上平均找幾點連線。這樣你可以控制曲線曲面的精度（和計算量）。最通常的方法是遠距離少細分近距離多細分，對視點，看上去總是很完好的曲面而對速度的影響總是最小。
貝塞爾曲面基於一個基本方程，其他複雜的都是基於此。方程為：

t + (1 - t) = 1

看起來很簡單不是？的確是的，這是最基本的貝塞爾曲線，一個一維的曲線。你也許從術語中猜到，貝塞爾曲線是多項式形式的。從線性代數知，一個一維的多項式是一條直線，沒多大意思。好，因為基本方程對所有t都成立，我們可以平方，立方兩邊，怎麼都行，等式都是成立的，對吧？好，我們試試立方。

(t + (1-t))^3 = 1^3

t^3 + 3*t^2*(1-t) + 3*t*(1-t)^2 + (1-t)^3 = 1

這是我們最常用的計算貝塞爾曲面的方程，a)她是最低維的不需要在一個平面內的多項式（有4個控制點），而且b)兩邊的切線互相沒有聯絡（對於2維的只有3個控制點）。那麼你看到了貝塞爾曲線了嗎？呵呵，我們都沒有，因為我還要加一個東西。
好，因為方程左邊等於1，可以肯定如果你把所有項加起來還是等於1。這是否意味著在計算曲線上一點時可以以此決定該用每個控制點的多少呢？（答案是肯定的）你對了！當我們要計算曲線上一點的值我們只需要用控制點（表示為向量）乘以每部分再加起來。基本上我們要用0<=t<=1，但不是必要的。不明白了把？這裡有函式：

P1*t^3 + P2*3*t^2*(1-t) + P3*3*t*(1-t)^2 + P4*(1-t)^3 = P_new

因為多項式是連續的，有一個很好的辦法在4個點間插值。曲線僅經過P1，P4，分別當t=1,0。
好，一切都很好，但現在我怎麼把這個用在3D裡呢？其實很簡單，為了做一個貝塞爾曲面，你需要16個控制點，（4*4），和2個變數t,v。你要做的是計算在分量v的沿4條平行曲線的點，再用這4個點計算在分量t的點。計算了足夠的這些點，我們可以用三角帶連線他們，畫出貝塞爾曲面。

   

恩，我認為現在已經有足夠的數學背景了，看程式碼把！