紅黑樹 RBT
紅黑樹的性質與定義
紅黑樹(red-black tree) 是一棵滿足下述性質的二叉查詢樹：
1. 每一個結點要麼是紅色，要麼是黑色。
2. 根結點是黑色的。
3. 所有葉子結點都是黑色的（實際上都是Null指標，下圖用NIL表示）。葉子結點不包含任何關鍵字資訊，所有查詢關鍵字都在非終結點上。
4. 每個紅色結點的兩個子節點必須是黑色的。換句話說：從每個葉子到根的所有路徑上不能有兩個連續的紅色結點
5. 從任一結點到其每個葉子的所有路徑都包含相同數目的黑色結點
黑深度 ——從某個結點x出發(不包括結點x本身)到葉結點(包括葉子結點)的路徑上的黑結點個數,稱為該結點x的黑深度,記為bd(x),根結點的黑深度就是該紅黑樹的黑深度。葉子結點的黑深度為0。比如：上圖bd(13)=2，bd(8)=2，bd(1)=1
內部結點 —— 紅黑樹的非終結點
外部節點 —— 紅黑樹的葉子結點
紅黑樹相關定理
1. 從根到葉子的最長的可能路徑不多於最短的可能路徑的兩倍長。
根據上面的性質5我們知道上圖的紅黑樹每條路徑上都是3個黑結點。因此最短路徑長度為2(沒有紅結點的路徑)。再根據性質4(兩個紅結點不能相連)和性質1，2(葉子和根必須是黑結點)。那麼我們可以得出：一條具有3個黑結點的路徑上最多隻能有2個紅結點(紅黑間隔存在)。也就是說黑深度為2（根結點也是黑色）的紅黑樹最長路徑為4，最短路徑為2。從這一點我們可以看出紅黑樹是 大致平衡的。 (當然比平衡二叉樹要差一些，AVL的平衡因子最多為1)
2. 紅黑樹的樹高(h)不大於兩倍的紅黑樹的黑深度(bd)，即h<=2bd
根據定理1，我們不難說明這一點。bd是紅黑樹的最短路徑長度。而可能的最長路徑長度(樹高的最大值)就是紅黑相間的路徑，等於2bd。因此h<=2bd。
3. 一棵擁有n個內部結點(不包括葉子結點)的紅黑樹的樹高h<=2log(n+1)
下面我們首先證明一顆有n個內部結點的紅黑樹滿足n>=2^bd-1。這可以用數學歸納法證明，施歸納於樹高h。當h=0時，這相當於是一個葉結點，黑高度bd為0，而內部結點數量n為0，此時0>=2^0-1成立。假設樹高h<=t時，n>=2^bd-1成立，我們記一顆樹高 為t+1的紅黑樹的根結點的左子樹的內部結點數量為nl，右子樹的內部結點數量為nr，記這兩顆子樹的黑高度為bd'（注意這兩顆子樹的黑高度必然一 樣），顯然這兩顆子樹的樹高<=t，於是有nl>=2^bd'-1以及nr>=2^bd'-1，將這兩個不等式相加有nl+nr>=2^(bd'+1)-2，將該不等式左右加1，得到n>=2^(bd'+1)-1，很顯然bd'+1>=bd，於是前面的不等式可以 變為n>=2^bd-1，這樣就證明了一顆有n個內部結點的紅黑樹滿足n>=2^bd-1。
在根據定理2，h<=2bd。即n>=2^(h/2)-1，那麼h<=2log(n+1)
從這裡我們能夠看出，紅黑樹的查詢長度最多不超過2log(n+1)，因此其查詢時間複雜度也是O(log N)級別的。
紅黑樹的操作
因為每一個紅黑樹也是一個特化的二叉查詢樹，因此紅黑樹上的查詢操作與普通二叉查詢樹上的查詢操作相同。 然而，在紅黑樹上進行插入操作和刪除操作會導致不 再符合紅黑樹的性質。恢復紅黑樹的屬性需要少量(O(log n))的顏色變更(實際是非常快速的)和不超過三次樹旋轉(對於插入操作是兩次)。 雖然插入和刪除很複雜，但操作時間仍可以保持為 O(log n) 次 。
插入操作
我們首先以二叉查詢樹的方法增加節點並標記它為紅色。 （ 如果設為黑色，就會導致根到葉子的路徑上有一條路上，多一個額外的黑節點，這個是很難調整的。但是設為紅色節點後，可能會導致出現兩個連續紅色節點的衝突，那麼可以通過顏色調換（color flips）和樹旋轉來調整。） 下面要進行什麼操作取決於其他臨近節點的顏色。同人類的家族樹中一樣，我們將使用術語叔父節點來指一個節點的父節點的兄弟節點。
假設新加入的結點為N，父親結點為P，叔父結點為Ui(叔父結點就是一些列P的兄弟結點)，祖父結點G(父親結點P的父親)。下面會給出每一種情況，我們將使用C示例程式碼來展示。通過下列函式，可以找到一個節點的叔父和祖父節點:
C程式碼
- node grandparent(node n) {
- return n->parent->parent;
- }
- node uncle(node n) {
- if (n->parent == grandparent(n)->left)
- return grandparent(n)->right;
- else
- return grandparent(n)->left;
- }
情況1. 當前紅黑樹為空，新結點N位於樹的根上，沒有父結點。
此時很簡單，我們將直接插入一個黑結點N（滿足性質2），其他情況下插入的N為紅色（原因在前面提到了）。
C程式碼
- void insert_case1(node n) {
- if (n->parent == NULL)
- n->color = BLACK;
- else
- insert_case2(n); //插入情況2
- }
情況2. 新結點N的父結點P是黑色。
在這種情況下，我們插入一個紅色結點N(滿足性質5)。
Java程式碼
- void insert_case2(node n) {
- if (n->parent->color == BLACK)
- return; // 樹仍舊有效
- else
- insert_case3(n); //插入情況3
- }
注意：在情況3，4，5下，我們假定新節點有祖父節點，因為父節點是紅色；並且如果它是根，它就應當是黑色。所以新節點總有一個叔父節點，儘管在情形4和5下它可能是葉子。
情況3.如果父節點P和叔父節點U二者都是紅色。
如下圖，因為新加入的N結點必須為紅色，那麼我們可以將父結點P(保證性質4)，以及N的叔父結點U(保證性質5)重新繪製成黑色。如果此時祖父結點G是根，則結束變化。如果不是根，則祖父結點重繪為紅色(保證性質5)。但是，G的父親也可能是紅色的，為了保證性質4。我們把G遞迴當做新加入的結點N在進行各種情況的重新檢查。
- void insert_case3(node n) {
- if (uncle(n) != NULL && uncle(n)->color == RED) {
- n->parent->color = BLACK;
- uncle(n)->color = BLACK;
- grandparent(n)->color = RED;
- insert_case1(grandparent(n));
- }
- else
- insert_case4(n);
- }
注意：在情形4和5下，我們假定父節點P 是祖父結點G 的左子節點。如果它是右子節點，情形4和情形5中的左和右應當對調。
情況4. 父節點P是紅色而叔父節點U是黑色或缺少; 另外，新節點N是其父節點P的右子節點，而父節點P又是祖父結點G的左子節點。
如下圖, 在這種情形下，我們進行一次左旋轉調換新節點和其父節點的角色（與AVL樹的左旋轉相同）; 這導致某些路徑通過它們以前不通過的新節點N或父節點P中的一個，但是這兩個節點都是紅色的，所以性質5沒有失效。但目前情況將違反性質4，所以接著，我們按下面的情況5繼續處理以前的父節點P。
- void insert_case4(node n) {
- if (n == n->parent->right && n->parent == grandparent(n)->left) {
- rotate_left(n->parent);
- n = n->left;
- } else if (n == n->parent->left && n->parent == grandparent(n)->right) {
- rotate_right(n->parent);
- n = n->right;
- }
- insert_case5(n)
- }
情況5. 父節點P是紅色而叔父節點U 是黑色或缺少，新節點N 是其父節點的左子節點，而父節點P又是祖父結點的G的左子節點。
如下圖： 在這種情形下，我們進行鍼對祖父節點P 的一次右旋轉; 在旋轉產生的樹中，以前的父節點P現在是新節點N和以前的祖父節點G 的父節點。我們知道以前的祖父節點G是黑色，否則父節點P就不可能是紅色。我們切換以前的父節點P和祖父節點G的顏色，結果的樹滿足性質4[3]。性質 5[4]也仍然保持滿足，因為通過這三個節點中任何一個的所有路徑以前都通過祖父節點G ，現在它們都通過以前的父節點P。在各自的情形下，這都是三個節點中唯一的黑色節點。
- void insert_case5(node n) {
- n->parent->color = BLACK;
- grandparent(n)->color = RED;
- if (n == n->parent->left && n->parent == grandparent(n)->left) {
- rotate_right(grandparent(n));
- } else {
- /* Here, n == n->parent->right && n->parent == grandparent(n)->right */
- rotate_left(grandparent(n));
- }
- }
刪除操作
如果需要刪除的節點有兩個兒子，那麼問題可以被轉化成刪除另一個只有一個兒子的節點的問題（為了表述方便，這裡所指的兒子，為非葉子節點的兒子）。 對於二叉查詢樹，在刪除帶有兩個非葉子兒子的節點的時候，我們找到要麼在它的左子樹中的最大元素、要麼在它的右子樹中的最小元素，並把它的值轉移到要刪除 的節點中(如在這裡所展示的那樣)。我們接著刪除我們從中複製出值的那個節點，它必定有少於兩個非葉子的兒子。因為只是複製了一個值而不違反任何屬性，這 就把問題簡化為如何刪除最多有一個兒子的節點的問題。它不關心這個節點是最初要刪除的節點還是我們從中複製出值的那個節點。
在本文餘下的部分中，我們只需要討論刪除只有一個兒子的節點(如果它兩個兒子都為空，即均為葉子，我們任意將其中一個看作它的兒子)。如果我們刪除一個紅色節點，它的父親和兒子一定是黑色的。所以我們可以簡單的用它的黑色兒子替換它，並不會破壞屬性3和4。通過被刪除節點的所有路徑只是少了一個紅色 節點，這樣可以繼續保證屬性5。另一種簡單情況是在被刪除節點是黑色而它的兒子是紅色的時候。如果只是去除這個黑色節點，用它的紅色兒子頂替上來的話，會 破壞屬性4，但是如果我們重繪它的兒子為黑色，則曾經通過它的所有路徑將通過它的黑色兒子，這樣可以繼續保持屬性4。
需要進一步討論的是在要刪除的節點和它的兒子二者都是黑色的時候，這是一種複雜的情況。我們首先把要刪除的節點替換為它的兒子。出於方便，稱呼這個兒子為 N，稱呼它的兄弟(它父親的另一個兒子)為S。在下面的示意圖中，我們還是使用P稱呼N的父親，SL稱呼S的左兒子，SR稱呼S的右兒子。我們將使用下述 函式找到兄弟節點:
C程式碼
- struct node * sibling(struct node *n)
- {
- if (n == n->parent->left)
- return n->parent->right;
- else
- return n->parent->left;
- }
我們可以使用下列程式碼進行上述的概要步驟，這裡的函式 replace_node 替換 child 到 n 在樹中的位置。出於方便，在本章節中的程式碼將假定空葉子被用不是 NULL 的實際節點物件來表示(在插入章節中的程式碼可以同任何一種表示一起工作)。
C程式碼
- void delete_one_child(struct node *n)
- {
- /*
- * Precondition: n has at most one non-null child.
- */
- struct node *child = is_leaf(n->right) ? n->left : n->right;
- replace_node(n, child);
- if (n->color == BLACK) {
- if (child->color == RED)
- child->color = BLACK;
- else
- delete_case1(child);
- }
- free(n);
- }
如果 N 和它初始的父親是黑色，則刪除它的父親導致通過 N 的路徑都比不通過它的路徑少了一個黑色節點。因為這違反了屬性 4，樹需要被重新平衡。有幾種情況需要考慮:
情況1. N 是新的根。
在這種情況下，我們就做完了。我們從所有路徑去除了一個黑色節點，而新根是黑色的，所以屬性都保持著。
C程式碼
- void delete_case1(struct node *n)
- {
- if (n->parent != NULL)
- delete_case2(n);
- }
注意: 在情況2、5和6下，我們假定 N 是它父親的左兒子。如果它是右兒子，則在這些情況下的左和右應當對調。
情況2. S 是紅色。
在這種情況下我們在N的父親上做左旋轉，把紅色兄弟轉換成N的祖父。我們接著對調 N 的父親和祖父的顏色。儘管所有的路徑仍然有相同數目的黑色節點，現在 N 有了一個黑色的兄弟和一個紅色的父親，所以我們可以接下去按 4、5或6情況來處理。(它的新兄弟是黑色因為它是紅色S的一個兒子。)
- void delete_case2(struct node *n)
- {
- struct node *s = sibling(n);
- if (s->color == RED) {
- n->parent->color = RED;
- s->color = BLACK;
- if (n == n->parent->left)
- rotate_left(n->parent);
- else
- rotate_right(n->parent);
- }
- delete_case3(n);
- }
情況 3: N 的父親、S 和 S 的兒子都是黑色的。
在這種情況下，我們簡單的重繪 S 為紅色。結果是通過S的所有路徑, 它們就是以前不通過 N 的那些路徑，都少了一個黑色節點。因為刪除 N 的初始的父親使通過 N 的所有路徑少了一個黑色節點，這使事情都平衡了起來。但是，通過 P 的所有路徑現在比不通過 P 的路徑少了一個黑色節點，所以仍然違反屬性4。要修正這個問題，我們要從情況 1 開始，在 P 上做重新平衡處理。
、
- void delete_case3(struct node *n)
- {
- struct node *s = sibling(n);
- if ((n->parent->color == BLACK) &&
- (s->color == BLACK) &&
- (s->left->color == BLACK) &&
- (s->right->color == BLACK)) {
- s->color = RED;
- delete_case1(n->parent);
- } else
- delete_case4(n);
- }
情況4. S 和 S 的兒子都是黑色，但是 N 的父親是紅色。
在這種情況下，我們簡單的交換 N 的兄弟和父親的顏色。這不影響不通過 N 的路徑的黑色節點的數目，但是它在通過 N 的路徑上對黑色節點數目增加了一，添補了在這些路徑上刪除的黑色節點。
- void delete_case4(struct node *n)
- {
- struct node *s = sibling(n);
- if ((n->parent->color == RED) &&
- (s->color == BLACK) &&
- (s->left->color == BLACK) &&
- (s->right->color == BLACK)) {
- s->color = RED;
- n->parent->color = BLACK;
- } else
- delete_case5(n);
- }
情況5. S 是黑色，S 的左兒子是紅色，S 的右兒子是黑色，而 N 是它父親的左兒子。
在這種情況下我們在 S 上做右旋轉，這樣 S 的左兒子成為 S 的父親和 N 的新兄弟。我們接著交換 S 和它的新父親的顏色。所有路徑仍有同樣數目的黑色節點，但是現在 N 有了一個右兒子是紅色的黑色兄弟，所以我們進入了情況 6。N 和它的父親都不受這個變換的影響。
