參考中國大學Mooc (浙江大學)->資料結構

我把陳越姥姥講的最大子列和記錄一下,以備不時之需.

"最大子列和" 問題

給一個數組,讓求出其中所有子列資料的和的Max 值.

1.暴力求解

拿到這個問題的第一瞬間想到的幾乎都是暴力,

  遍歷所有的子序列,找到其中最大值

//暴力求解
int MaxSubseqSum1(int A[], int n)
{
    int ThisSum, MaxSum = 0;
    int i,j,k;
    //找出所有子列
    for (i = 0; i < n; i++)
    {
        for (j = i; j < n; j++)
        {
            ThisSum = 0;
            for(k = i; k <= j; k++)
            {
                ThisSum += a[k];
            }// 求子列和
            if(ThisSum > MaxSum)
            {
                int t = ThisSum;
                ThisSum = MaxSum;
                MaxSum = t;
            }
        }
    }
    return MaxSum;
}
 

缺點:時間複雜度N的立方,太慢了

2.暴力的改進版本

仔細分析第一種方法,可以得到,最內層 的 k 迴圈,完全可以通過簡單的變化消失掉.

即:建立在 j 迴圈基礎,消除 k 迴圈

//對暴力的簡單改進
int MaxSubseqSum1(int A[], int n)
{
    int ThisSum, MaxSum = 0;
    int i,j,k;
    //找出所有子列
    for (i = 0; i < n; i++)
    {
        ThisSum = 0;
        for (j = i; j < n; j++)
        {//此處使用累加,消除掉 k 迴圈
            ThisSum += a[j];
            if(ThisSum > MaxSum)
            {
                int t = ThisSum;
                ThisSum = MaxSum;
                MaxSum = t;
            }
        }
    }
    return MaxSum;
}
 

較第一種改進較大.

3. 二分

int Max3( int A, int B, int C )
{ /* 返回3個整數中的最大值 */
    return A > B ? A > C ? A : C : B > C ? B : C;
}
 
int DivideAndConquer( int List[], int left, int right )
{ /* 分治法求List[left]到List[right]的最大子列和 */
    int MaxLeftSum, MaxRightSum; /* 存放左右子問題的解 */
    int MaxLeftBorderSum, MaxRightBorderSum; /*存放跨分界線的結果*/
 
    int LeftBorderSum, RightBorderSum;
    int center, i;
 
    if( left == right )  { /* 遞迴的終止條件，子列只有1個數字 */
        if( List[left] > 0 )  return List[left];
        else return 0;
    }
 
    /* 下面是"分"的過程 */
    center = ( left + right ) / 2; /* 找到中分點 */
    /* 遞迴求得兩邊子列的最大和 */
    MaxLeftSum = DivideAndConquer( List, left, center );
    MaxRightSum = DivideAndConquer( List, center+1, right );
 
    /* 下面求跨分界線的最大子列和 */
    MaxLeftBorderSum = 0; LeftBorderSum = 0;
    for( i=center; i>=left; i-- ) { /* 從中線向左掃描 */
        LeftBorderSum += List[i];
        if( LeftBorderSum > MaxLeftBorderSum )
            MaxLeftBorderSum = LeftBorderSum;
    } /* 左邊掃描結束 */
 
    MaxRightBorderSum = 0; RightBorderSum = 0;
    for( i=center+1; i<=right; i++ ) { /* 從中線向右掃描 */
        RightBorderSum += List[i];
        if( RightBorderSum > MaxRightBorderSum )
            MaxRightBorderSum = RightBorderSum;
    } /* 右邊掃描結束 */
 
    /* 下面返回"治"的結果 */
    return Max3( MaxLeftSum, MaxRightSum, MaxLeftBorderSum + MaxRightBorderSum );
}
 
int MaxSubseqSum3( int List[], int N )
{ /* 保持與前2種演算法相同的函式介面 */
    return DivideAndConquer( List, 0, N-1 );
}
 

但是理論較難,程式碼晦澀.

4.線上處理

一個牛逼的演算法

從前到後進行一次遍歷,找到其中最大值,但是隻要某一段子列和為0,即拋棄此時的ThisSum,重新置為0

//線上處理法
int MaxSubseqSum4(int A[], int n)
{
    int ThisSum = 0, MaxSum = 0;
    int i;
    for(i = 0; i<n; i++)
    {
        ThisSum += a[i];
        if(ThisSum >MaxSum)
        {
            MaxSum= ThisSum;
        }
        else if(ThisSum <0){
            ThisSum = 0;
        }
        
    }
    return MaxSum;
}

缺點: 總有人懷疑其正確性(講真,我還覺得這個演算法有問題...)