一.背景

   5月9號到北大去聽hulu的講座《推薦系統和計算廣告在視訊行業應用》，想到能見到傳說中的項亮大神，特地拿了本《推薦系統實踐》求籤名。講座開始，主講人先問了下哪些同學有機器學習的背景，我恬不知恥的毅然舉手，真是慚愧。後來主講人在講座中提到了最小二乘法，說這個是機器學習最基礎的演算法。神馬，最基礎，我咋不知道呢！ 看來以後還是要對自己有清晰認識。

   回來趕緊上百度，搜了下什麼是最小二乘法。

   先看下百度百科的介紹：最小二乘法（又稱最小平方法）是一種數學優化技術。它通過最小化誤差的平方和尋找資料的最佳函式匹配。利用最小二乘法可以簡便地求得未知的資料，並使得這些求得的資料與實際資料之間

   通過這段描述可以看出來，最小二乘法也是一種優化方法，求得目標函式的最優值。並且也可以用於曲線擬合，來解決迴歸問題。難怪《統計學習方法》中提到，迴歸學習最常用的損失函式是平方損失函式，在此情況下，迴歸問題可以著名的最小二乘法來解決。看來最小二乘法果然是機器學習領域做有名和有效的演算法之一。

二. 最小二乘法

   我們以最簡單的一元線性模型來解釋最小二乘法。什麼是一元線性模型呢？ 監督學習中，如果預測的變數是離散的，我們稱其為分類（如決策樹，支援向量機等），如果預測的變數是連續的，我們稱其為迴歸。迴歸分析中，如果只包括一個自變數和一個因變數，且二者的關係可用一條直線近似表示，這種迴歸分析稱為一元線性迴歸分析。如果迴歸分析中包括兩個或兩個以上的自變數，且因變數和自變數之間是線性關係，則稱為多元線性迴歸分析。對於二維空間線性是一條直線；對於三維空間線性是一個平面，對於多維空間線性是一個超平面...

   對於一元線性迴歸模型, 假設從總體中獲取了n組觀察值（X1，Y1），（X2，Y2）， …，（Xn，Yn）。對於平面中的這n個點，可以使用無數條曲線來擬合。要求樣本回歸函式儘可能好地擬合這組值。綜合起來看，這條直線處於樣本資料的中心位置最合理。 選擇最佳擬合曲線的標準可以確定為：使總的擬合誤差（即總殘差）達到最小。有以下三個標準可以選擇：

        （1）用“殘差和最小”確定直線位置是一個途徑。但很快發現計算“殘差和”存在相互抵消的問題。
        （2）用“殘差絕對值和最小”確定直線位置也是一個途徑。但絕對值的計算比較麻煩。
        （3）最小二乘法的原則是以“殘差平方和最小”確定直線位置。用最小二乘法除了計算比較方便外，得到的估計量還具有優良特性。這種方法對異常值非常敏感。

　 最常用的是普通最小二乘法（ Ordinary  Least Square，OLS）：所選擇的迴歸模型應該使所有觀察值的殘差平方和達到最小。（Q為殘差平方和）- 即採用平方損失函式。

 　樣本回歸模型：

                                     其中e_i為樣本（X_i, Y_i）的誤差

   平方損失函式：

   則通過Q最小確定這條直線，即確定，以為變數，把它們看作是Q的函式，就變成了一個求極值的問題，可以通過求導數得到。求Q對兩個待估引數的偏導數：

    根據數學知識我們知道，函式的極值點為偏導為0的點。

    解得：

這就是最小二乘法的解法，就是求得平方損失函式的極值點。

三. C++實現程式碼

 1 /*
 2 最小二乘法C++實現
 3 引數1為輸入檔案
 4 輸入 ： x
 5 輸出： 預測的y  
 6 */
 7 #include<iostream>
 8 #include<fstream>
 9 #include<vector>
10 using namespace std;
11 
12 class LeastSquare{
13     double a, b;
14 public:
15     LeastSquare(const vector<double>& x, const vector<double>& y)
16     {
17         double t1=0, t2=0, t3=0, t4=0;
18         for(int i=0; i<x.size(); ++i)
19         {
20             t1 += x[i]*x[i];
21             t2 += x[i];
22             t3 += x[i]*y[i];
23             t4 += y[i];
24         }
25         a = (t3*x.size() - t2*t4) / (t1*x.size() - t2*t2);  // 求得β1 
26         b = (t1*t4 - t2*t3) / (t1*x.size() - t2*t2);        // 求得β2
27     }
28 
29     double getY(const double x) const
30     {
31         return a*x + b;
32     }
33 
34     void print() const
35     {
36         cout<<"y = "<<a<<"x + "<<b<<"\n";
37     }
38 
39 };
40 
41 int main(int argc, char *argv[])
42 {
43     if(argc != 2)
44     {
45         cout<<"Usage: DataFile.txt"<<endl;
46         return -1;
47     }
48     else
49     {
50         vector<double> x;
51         ifstream in(argv[1]);
52         for(double d; in>>d; )
53             x.push_back(d);
54         int sz = x.size();
55         vector<double> y(x.begin()+sz/2, x.end());
56         x.resize(sz/2);
57         LeastSquare ls(x, y);
58         ls.print();
59         
60         cout<<"Input x:\n";
61         double x0;
62         while(cin>>x0)
63         {
64             cout<<"y = "<<ls.getY(x0)<<endl;
65             cout<<"Input x:\n";
66         }
67     }
68 }

四. 最小二乘法與梯度下降法

   最小二乘法跟梯度下降法都是通過求導來求損失函式的最小值，那它們有什麼區別呢。

   相同

　　1.本質相同：兩種方法都是在給定已知資料（independent & dependent variables）的前提下對dependent variables算出出一個一般性的估值函式。然後對給定新資料的dependent variables進行估算。
　　2.目標相同：都是在已知資料的框架內，使得估算值與實際值的總平方差儘量更小（事實上未必一定要使用平方），估算值與實際值的總平方差的公式為：

   其中為第i組資料的independent variable，為第i組資料的dependent variable，為係數向量。

   不同
　　1.實現方法和結果不同：最小二乘法是直接對求導找出全域性最小，是非迭代法。而梯度下降法是一種迭代法，先給定一個，然後向下降最快的方向調整，在若干次迭代之後找到區域性最小。梯度下降法的缺點是到最小點的時候收斂速度變慢，並且對初始點的選擇極為敏感，其改進大多是在這兩方面下功夫。

 參考： http://blog.csdn.net/qll125596718/article/details/8248249

轉載出處：http://www.cnblogs.com/iamccme/archive/2013/05/15/3080737.html