概念

最小二乘法多項式曲線擬合，根據給定的m個點,並不要求這條曲線精確地經過這些點，而是曲線y=f(x)的近似曲線y= φ(x)。

原理

[原理部分由個人根據互聯網上的資料進行總結，希望對大家能有用]

給定數據點pi(xi,yi)，其中i=1,2,…,m。求近似曲線y= φ(x)。並且使得近似曲線與y=f(x)的偏差最小。近似曲線在點pi處的偏差δi= φ(xi)-y，i=1,2,...,m。

常見的曲線擬合方法:

1.使偏差絕對值之和最小

2.使偏差絕對值最大的最小

3.使偏差平方和最小

按偏差平方和最小的原則選取擬合曲線，並且采取二項式方程為擬合曲線的方法,稱為最小二乘法。

推導過程：

1. 設擬合多項式為：

2. 各點到這條曲線的距離之和，即偏差平方和如下：

.......

4. 將等式左邊進行一下化簡，然後應該可以得到下面的等式：

.......

5. 把這些等式表示成矩陣的形式，就可以得到下面的矩陣：

6. 將這個範德蒙得矩陣化簡後可得到:

7. 也就是說 運行前提:

1. Python運行環境與編輯環境；
2. Matplotlib.pyplot圖形庫，可用於快速繪制2D圖表，與matlab中的plot命令類似，而且用法也基本相同。

代碼:

1. # coding=utf-8
3. ‘‘‘‘‘
4. 作者:Jairus Chan
5. 程序:多項式曲線擬合算法
6. ‘‘‘
7. import matplotlib.pyplot as plt
8. import math
9. import numpy
10. import random
12. fig = plt.figure()
13. ax = fig.add_subplot(111)
15. #階數為9階
16. order=9
18. #生成曲線上的各個點
19. x = numpy.arange(-1,1,0.02)
20. y = [((a*a-1)*(a*a-1)*(a*a-1)+0.5)*numpy.sin(a*2) for a in x]
21. #ax.plot(x,y,color=‘r‘,linestyle=‘-‘,marker=‘‘)
22. #,label="(a*a-1)*(a*a-1)*(a*a-1)+0.5"
24. #生成的曲線上的各個點偏移一下，並放入到xa,ya中去
25. i=0
26. xa=[]
27. ya=[]
28. for xx in x:
29. yy=y[i]
30. d=float(random.randint(60,140))/100
31. #ax.plot([xx*d],[yy*d],color=‘m‘,linestyle=‘‘,marker=‘.‘)
32. i+=1
33. xa.append(xx*d)
34. ya.append(yy*d)
36. ‘‘‘‘‘for i in range(0,5):
37. xx=float(random.randint(-100,100))/100
38. yy=float(random.randint(-60,60))/100
39. xa.append(xx)
40. ya.append(yy)‘‘‘
42. ax.plot(xa,ya,color=‘m‘,linestyle=‘‘,marker=‘.‘)
45. #進行曲線擬合
46. matA=[]
47. for i in range(0,order+1):
48. matA1=[]
49. for j in range(0,order+1):
50. tx=0.0
51. for k in range(0,len(xa)):
52. dx=1.0
53. for l in range(0,j+i):
54. dx=dx*xa[k]
55. tx+=dx
56. matA1.append(tx)
57. matA.append(matA1)
59. #print(len(xa))
60. #print(matA[0][0])
61. matA=numpy.array(matA)
63. matB=[]
64. for i in range(0,order+1):
65. ty=0.0
66. for k in range(0,len(xa)):
67. dy=1.0
68. for l in range(0,i):
69. dy=dy*xa[k]
70. ty+=ya[k]*dy
71. matB.append(ty)
73. matB=numpy.array(matB)
75. matAA=numpy.linalg.solve(matA,matB)
77. #畫出擬合後的曲線
78. #print(matAA)
79. xxa= numpy.arange(-1,1.06,0.01)
80. yya=[]
81. for i in range(0,len(xxa)):
82. yy=0.0
83. for j in range(0,order+1):
84. dy=1.0
85. for k in range(0,j):
86. dy*=xxa[i]
87. dy*=matAA[j]
88. yy+=dy
89. yya.append(yy)
90. ax.plot(xxa,yya,color=‘g‘,linestyle=‘-‘,marker=‘‘)
92. ax.legend()
93. plt.show()

運行效果:

本博客中所有的博文都為筆者（Jairus Chan）原創。

如需轉載，請標明出處：http://blog.csdn.net/JairusChan。

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