Kruskal演算法

Kruskal演算法是一種構造最小生成樹的簡單演算法，其中的思想比較簡單。
基本思想
設G=(V,E)是一個網路，其中|V|=n。Kruskal演算法構造最小生成樹的過程是：

• 初始時取包含G中所有n個頂點但沒有任何邊的孤立點子圖T=(V,{})，T裡的每個頂點自成一個連通分量。下面將通過不斷擴充T的方式構造G的最小生成樹。
• 將邊集E中的邊按權值遞增的順序排序，在構造中的每一步順序地檢查這個邊序列，找到下一條（最短的）兩端點位於T的兩個不同連通分量的邊e，把e加人T。這導致兩個連通分量由於邊e的連線而變成了一個連通分量。
• 每次操作使T減少一個連通分量。不斷重複這個動作加人新邊，直到T中所有頂點都包含在一個連通分量裡為止，這個連通分量就是G的一棵最小生成樹。

 可以先用一個優先佇列儲存所有的邊，這樣可保證每次取到的都是最短邊。為每個連通分量確定一個代表元，如果兩個頂點的代表元相同，它們就互相連通，屬於同一連通分量。。加人一條邊減少了連通分量，這時需要選一個頂點，讓被合併的兩個連通分量裡的頂點都以它為代表元。完成這件事的簡單方法是從原來的兩個代表元中任選一個，而後更新另一連通分量中頂點的代表元。

演算法的python實現

下面給出Kruskal演算法的一個實現。除表reps和mgt外，這個演算法還使用了另一個表edges，在其中儲存圖graph所有的邊，並呼叫Python表的sort操作將這些邊按權值從小到大排好序。隨後的操作就是逐個選擇最短的有效邊。
邊表的形式是(w,vi,vj)，其中w是這條邊的權值，vi和vj是其兩個端點。在主迴圈裡順序檢查edges裡的邊（按權值從小到大），如果一條邊的兩端點代表元不同，就將其加人mst,並更新一個連通分量的代表元。這樣反覆做到mst裡積累了n-1條邊（成功得到最小生成樹），或者所有邊都已檢查完畢（沒有最小生成樹），迴圈結束。這時在mst裡儲存的是graph的最小生成樹，或最小生成樹林。

#Kruskal演算法
def Kruskal(graph):
    vnum=graph.vertex_num()
    reps=[i for i in range(vnum)]
    mst,edges=[],[]
    for vi in range(vnum):
        for v,w in graph.out_edges(vi):
            edges.append((w,vi,v))
    edges.sort()
    for w,vi,vj in edges:
        if reps[vi]!=reps[vj]:
            mst.append(((vi,vj),w))
            if len(mst)==vnum-1:
                break
            rep,orep=reps[vi],reps[vj]
            for i in range(vnum):
                if reps[i]==orep:
                    reps[i]=rep
    return mst
 

Prim演算法 

prim演算法是MST性質的直接應用，其基本思想是：從一個頂點出發，利用MST性質選擇最短連線邊，擴充已連線的頂點集並加入所選的邊，直至結點集合裡包含了圖中的所有頂點。
演算法細節

• 從圖G的頂點集V中任取一頂點（例如頂點v0）放人集合U中，這時U={v0}，令邊集合ET={}，顯然T=（U，ET）是一棵樹（只包含一個頂點且沒有邊）。
• 檢查所有一個端點在集合U裡而另一個端點在集合V-U的邊，找出其中權最小的邊e=(u,v)（假設),將頂點v加人頂點集合U，並將e加人邊集合。易見，擴充之後的T=(U，ET)仍是一棵樹。
• 重複上面步驟直到U=V（所構造的樹已經包含了所有頂點）。這時集合ET裡有n-1條邊，子圖T=(U，ET)，就是G的一棵最小生成樹。

下面演算法裡用了一個優先佇列cands記錄候選邊，mst的作用與前面演算法相同。開始將邊（0，0，0）壓人佇列，表示從頂點0到自身的長度為0的邊，第一個元素是權值。然後執行演算法的主迴圈，直到mst記錄了”個頂點（成功構造出最小生成樹）或優先佇列空（說明圖graph不連通，沒有最小生成樹）時結束。

#prim演算法
def Prim(graph):
    vnum=graph.vertex_num()
    mst=[None]*vnum
    cands=PrioQue([(0,0,0)])
    count=0
    while count<vnum and not cands.is_empty():
        w,u,v=cands.dequeue()
        if mst[v]:
            continue
        mst[v]=((u,v),w)
        count+=1
        for vi,w in graph.out_edges(v):
            if not mst[vi]:
                cands.enqueue((w,v,vi))
    return mst