【0】README

0.1） 本文總結於 資料結構與演算法分析， 原始碼均為原創， 旨在 理解 “DFS應用於找割點” 的idea 並用原始碼加以實現；
0.2） 必須要事先 做個specification的是：對於給定圖的除開起始vertex的那些 vertexes，都可以通過我們的 rules（見下文）找出割點，即對於根（start），我們需要做個special 的test，參見main函式中最後的原始碼；

【1】 無向圖割點相關

1.1）割點定義（articulate point）： 如果一個圖不是雙連通的， 那麼將其刪除後圖將不再連通的那些頂點叫做割點；

1.2）雙連通性定義：

如果一個連通的無向圖中的任一頂點刪除之後， 剩下的圖仍然是連通的， 那麼這樣的無向連通圖就是 雙連通的；
1.3）看個荔枝： 如果節點是 路由器或者交換機 的話， 邊是網路鏈路， 那麼若有一臺 路由器或者交換機 出故障而不能執行， 則網路並不會受到影響的；

【2】深度優先搜尋提供一種找出連通圖中的所有割點的線性時間演算法

2.1）首先， 從圖中任一頂點開始， 執行深度優先搜尋並在頂點被訪問時給它們編號， 對於每一個頂點，我們稱其為先序編號 Num(v) （注：在原始碼中，vertexIndex 表示Num的含義，下文不再累述)；
2.2）然後， 對於深度優先搜尋生成樹上的每一個頂點v， 計算編號最低的頂點， 我們稱之為 Low（v），該點從v 開始， 通過樹的零條或多條邊且可能還有一條背向邊而達到 （注：在原始碼中，vertexLow 表示Low的含義，下文不再累述)

2.3）從A、B、C開始的可達到最低編號頂點為1（A）， 因為它們都能夠通過樹的邊到D， 然後再由一條背向邊回到A；
2.4）我們可以通過對該深度優先生成樹執行一次後序遍歷有效地算出 Low， 根據low的定義，可知Low（v）是：

• （1） Num（v） +
• （2） 所有背向邊（v, w）中的最低Num（w） +
• （3） 樹的所有邊（v, w）中的最低Low（w）， 以上三者中 的最小者；
• 對以上規則的分析： 第一個條件是不選取邊； 第二種方法是不選取樹的邊 而是選取一條背向邊；第三種方法則是選擇樹的某些邊以及可能還有一條背向邊；

Attention）

• A1）由於我們需要對v 的所有兒子計算出 Low 值後才能計算Low(v) , 因此這是一個後序遍歷；
• A2）對於任一條邊（v, w）， 我們只要檢查Num（v）和 Num（w）就可以知道它是樹的一條邊還是一條背向邊（因為如果是深度優先樹的邊， Num(v) < Num(w)， 因為v比w先被訪問到， 而如果是背向邊，Num(v) >Num(w)的 ）；
• A3）因此， Low（v） 容易計算： 我們僅僅需要掃描v 的鄰接表，應用適當 的法則，並記住最小值。 所有的計算花費 O（|E| + |V|）；

【3】剩下要做的就是利用 這些資訊找出所有的割點。

3.1）對於根（見本文README部分）：根是割點當且僅當它有多於一個的兒子（根至少要有兩個兒子），因為如果它有兩個兒子， 那麼刪除根則使得節點不連通而分佈在不同的子樹上；如果根只有一個兒子， 那麼除去該根只不過是斷離該根。
3.2）對於任何其他頂點v： 它是割點當且僅當它有某個兒子w 使得Low（w）>= Num(v)； （注意， 這個條件在根處總是滿足的； 因此，需要進行特別的測試）（乾貨）

【4】source code + printing results

• 4.2.1） 找割點的函式

// "find the articulation point from the given graph"
void findArticulate(Vertex vertex, int depth)
{   
    int i;
    AdjTable temp;  
    Vertex adjVertex;                       

    visited[vertex] = 1; // update visited status of vertex
    vertexIndex[vertex] = counter++; // evaluating vertex index with counter
    vertexLow[vertex] = vertexIndex[vertex]; // the 1st rule: evaluating vertex low with counter
    temp = adj[vertex]; 

    while(temp->next)
    {
        adjVertex = temp->next->vertex;     
        if(visited[adjVertex]) // judge whether the adjVertes was visited before        
        {
            if(vertexIndex[vertex] > vertexIndex[adjVertex] && parent[vertex] != adjVertex)     
            {
                //parent[adjVertex] = vertex; // building back side, attention of condition of building back side above             
                //ex vertex= 3, adjVertex = 0

                // just for printing effect
                for(i = 0; i < depth; i++)  
                    printf("           ");
                printf("vertex[%c]->vertex[%c] (backside) \n", flag[vertex], flag[adjVertex]);

                // only if there's a backside, we apply the 2rd rule into the graph
                vertexLow[vertex] = minimum(vertexLow[vertex], vertexIndex[adjVertex]); // the 2rd rule: find lowest vertexIndex[w] among all edges(v, w)  
            }
        }

        // if(!visited[adjVertex])
        // there's the case no backside, and if condition sentences refers to case of backside
        else 
        {
            parent[adjVertex] = vertex;         
            // just for printing effect
            for(i = 0; i < depth; i++)  
                printf("           ");
            printf("vertex[%c]->vertex[%c] (building edge)\n", flag[vertex], flag[adjVertex]);          
            findArticulate(adjVertex, depth+1);

            if(vertex != start) // judge whether the vertex is the start (root) or not          
                if(vertexLow[adjVertex] >= vertexIndex[vertex])
                    printf("\n\t vertex[%c] proves to be an articulation point !", flag[vertex]);

            vertexLow[vertex] = minimum(vertexLow[vertex], vertexLow[adjVertex]); // the 3rd rule: find lowest verdexLow[w] among all edges(v, w)       
        }

        temp = temp->next;              
    } 
}  

• 4.2.2） 判斷start頂點是否是割點的函式

int isStartArticulation()
{
    int i;  
    AdjTable temp;
    Vertex adjVertex;   

    temp = adj[start];  

    while(temp->next)
    {
        adjVertex = temp->next->vertex; 
        if(adjVertex == start)
        {
            temp = temp->next;
            continue;
        }

        dfs(adjVertex, 1);      
        for(i=0; i<size; i++)       
            if(visited[i] != 1) // "refers that the start vertex is the articulation point"
                return 1;        

        temp = temp->next;
    }

    return 0;
}

4.3）printing results：