F: 石子合併（NOI1995）

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題目描述

在操場上沿一直線排列著 n堆石子。現要將石子有次序地合併成一堆。規定每次只能選相鄰的兩堆石子合併成新的一堆， 並將新的一堆石子數記為該次合併的得分。允許在第一次合併前對調一次相鄰兩堆石子的次序。

計算在上述條件下將n堆石子合併成一堆的最小得分和初次交換的位置。

輸入

輸入資料共有二行，其中，第1行是石子堆數n≤100；

第2行是順序排列的各堆石子數（≤20），每兩個數之間用空格分隔。

輸出

輸出合併的最小得分。

樣例輸入

3

2 5 1

樣例輸出

11

Solution

石子合併問題是最經典的

1.有N堆石子，現要將石子有序的合併成一堆，規定如下：每次只能移動任意的2堆石子合併，合併花費為新合成的一堆石子的數量。求將這N堆石子合併成一堆的總花費最小（或最大）。

分析：當然這種情況是最簡單的情況，合併的是任意兩堆，直接貪心即可，每次選擇最小的兩堆合併。本問題實際上就是哈夫曼的變形。

2.有N堆石子，現要將石子有序的合併成一堆，規定如下：每次只能移動相鄰的2堆石子合併，合併花費為新合成的一堆石子的數量。求將這N堆石子合併成一堆的總花費最小（或最大）。 

分析：我們熟悉矩陣連乘，知道矩陣連乘也是每次合併相鄰的兩個矩陣，那麼石子合併可以用矩陣連乘的方式來解決。

設dp[i][j]表示第i到第j堆石子合併的最優值，sum[i][j]表示第i到第j堆石子的總數量。那麼就有狀態轉移公式：

當然這裡可以用到強大的平行四邊形優化，證明過程看檔案

注意：此題可以交換相鄰的石子堆，暴力列舉即可。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=110;

int dp[maxn][maxn],s[maxn][maxn];
int sum[maxn],a[maxn];
int n,ans=0x3f3f3f3f;

void work()
{
	sum[0]=0;
	memset(dp,0x3f,sizeof(dp));
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		sum[i]=sum[i-1]+a[i];
		dp[i][i]=0;
	}
	for (int i=1;i<=n-2+1;i++)
	{
		int j=i+2-1;
		dp[i][j]=dp[i][i]+dp[i+1][j]+sum[j]-sum[i-1];
		s[i][j]=i;
	}
	for (int len=3;len<=n;len++)
		for (int i=1;i<=n-len+1;i++)
		{
			int j=i+len-1;
			for (int k=s[i][j-1];k<=s[i+1][j];k++)
				if (dp[i][j]>=dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1])
				{
					dp[i][j]=dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1];
					s[i][j]=k;
				}
		}
	if (ans>dp[1][n]) ans=dp[1][n];
}

int main()
{
	cin>>n;
	for (int i=1;i<=n;i++)
		cin>>a[i];
	work();
	for (int l=1;l<=n-1;l++)
	{
	swap(a[l],a[l+1]);
	work();
	swap(a[l],a[l+1]);
	}
	cout<<ans<<endl;	
}