前言

開始學省選演算法了……

感覺莫比烏斯反演好厲害的樣子，就先學習一下

一入反演深似海……

相關的東西太多了，以後會不定期更新

前置技能

莫比烏斯函式

莫比烏斯函式μ(n)的定義如下：

設n=pk11⋅pk22…pkmm

那麼我們就可以使用線性篩來得到μ(n)：

void prepare(){
    mu[1]=1;
    for (int i=2;i<=N;i++){
        if (!vis[i]) p[++p[0
 
]]=i,mu[i]=-1;
        for (int j=1;j<=p[0]&&i*p[j]<=N;j++){
            vis[i*p[j]]=1;
            if (i%p[j]==0) {mu[i*p[j]]=0;break;}
             else mu[i*p[j]]=-mu[i];
        }
    }
}

狄利克雷卷積

定義：對於數論函式f(n)和g(n)，定義卷積運算∗為：

任何數論函式f滿足f

定義函式I(x)=1，id(x)=x

則有：I∗μ=e

這說明μ是I的逆元

又有：φ∗I=id

那麼可以得到φ=id∗μ

莫比烏斯反演

對於f(n),g(n)滿足：

已知f=g∗I，求證g=f∗μ

根據I∗μ=e直接證明了

應用

求gcd=k的個數

問題：求

推導：