HDU5579 LCM & 唯一分解定理 & 排列組合
阿新 • • 發佈：2019-02-04
Description
Given two positive integers G and L, could you tell me how many solutions of (x, y, z) there are, satisfying that gcd(x, y, z) = G and lcm(x, y, z) = L?Note, gcd(x, y, z) means the greatest common divisor of x, y and z, while lcm(x, y, z) means the least common multiple of x, y and z.
Note 2, (1, 2, 3) and (1, 3, 2) are two different solutions.
Input
First line comes an integer T (T <= 12), telling the number of test cases.The next T lines, each contains two positive 32-bit signed integers, G and L.
It’s guaranteed that each answer will fit in a 32-bit signed integer.
Output
For each test case, print one line with the number of solutions satisfying the conditions above.Sample Input
26 72 7 33
Sample Output
720 題目大意： 給你兩個數L,G，問你有多少有序陣列（x,y,z)滿足GCD（x,y,z)=G,LCM(x,y,z)=L,首先如果gcd(x,y,z)=G, 思路分析： 當這樣的組合存在的時候，所求與 求gcd（x,y,z）=1且lcm（x,y,z)=L/G的方法數是等價的。
那麼：令temp=L/G。
對temp進行素數分解：temp=p1^t1 * p2^t2 * ……* pn^tn。
因為temp是這三個數的倍數，因而x，y，z的組成形式為：
x=p1^i1 * p2^i2 *…… * pn^in;
y=p1^j1 * p2^j2 *…… * pn^jn;
z=p1^k1 * p2^k2 * …… * pn^kn;
對於某一個素因子p：
因為要滿足x，y，z的最大公約數為1，即三個數沒有共同的素因子，所以min(i,j,k)=0。
又因為要滿足x，y，z的最小公倍數為temp，即p^t必然要至少存在一個，所以max(i,j,k)=t。
換言之：至少要有一個p^t，以滿足lcm的要求；至多有兩個包含p，以滿足gcd的要求。
因而基本的組合方式為（0，p^t，p^k）,k=0-->t。
而因為（1，2，3）和（2，1，3）是不同的方法，所有滿足要求的方法中，除了（0，0，t）和（0，t，t）各有3種排列之外，其餘的（0，x，t）(1<=x<=t-1)有6種排列。
對於某一個素因子p總的方法數為6*（t-1）+2*3=6*t。
在根據組合排列的知識，素數與素數之間是分步的關係，因而總的方法數為：6*t1*6*t2*6*t3*...*6*tn
程式碼：#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <set>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn = 2e5;
int p[maxn];
int main()
{
int T;
scanf("%d", &T);
while(T--)
{
LL L, G;
scanf("%lld%lld", &G, &L);
LL temp = L/G;
int x = sqrt(temp+0.5);
memset(p, 0, sizeof(p));
for(int i = 2; i <= x; i++)
{
while(temp%i ==0)
{
temp/=i;
p[i]++;
}
}
LL ans;
if(temp != 1) ans = 6;//如果L/G本身是素數
else ans = 1;
for(int i = 2; i <= x; i++)
{
if(p[i])
ans *= p[i]*6;
}
if(L%G)
printf("0\n");
else
printf("%lld\n", ans);
}
return 0;
}