題目描述

給定一棵n個節點的樹，一個人在樹上隨機遊走，即從一個點等概率走到相鄰的一個點，m組詢問，問從x走到y的期望。
n≤100000$n\le 100000$

解題思路：

樹上概率期望一般設兩個值，一個從自己到父親，一個從父親到自己。
設fi$f_i$表示從i$i$走到fa[i]$fa[i]$的期望步數，k=degi$k=de{g}_i$，則：

fi=1k+∑1k(1+fson[i]+fi)$f_i=\frac{1}{k}+\sum \frac{1}{k}(1+f_{son[i]}+f_i)$

即：fi=k+∑1kfson[i]$f_i=k+\sum \frac{1}{k}{f}_{son[i]}$

設gi$g_i$表示從fa[i]$fa[i]$走到i$i$的期望步數，k=degfa[i]$k=de{g}_{fa[i]}$則：

gi=1k+∑1k(1

即：gi=k+∑fbrother[i]+gfa[i]=ffa[i]−fi+gfa[i]$g_i=k+\sum f_{brother[i]}+g_{fa[i]}=f_{fa[i]}-f_i+g_{fa[i]}$

dfs求出f$f$和g$g$後，詢問答案即為∑fx−>lca+∑gy−>lca$\sum f_{x->lca}+\sum g_{y->lca}$，倍增預處理和即可。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace
 
 std;
int getint()
{
    int i=0,f=1;char c;
    for(c=getchar();(c!='-')&&(c<'0'||c>'9');c=getchar());
    if(c=='-')c=getchar(),f=-1;
    for(;c>='0'&&c<='9';c=getchar())i=(i<<3)+(i<<1)+c-'0';
    return i*f;
}
const int N=100005;
int n,m,dep[N],du[N],fa[N][20];
int tot,first[N],nxt[N<<1
 
],to[N<<1];
ll f[N][20],g[N][20];
void add(int x,int y)
{
    nxt[++tot]=first[x],first[x]=tot,to[tot]=y,du[y]++;
}
void dfs1(int u)
{
    f[u][0]=du[u];
    for(int i=1;i<20;i++)fa[u][i]=fa[fa[u][i-1]][i-1];
    for(int e=first[u];e;e=nxt[e])
    {
        int v=to[e];
        if(v==fa[u][0])continue;
        fa[v][0]=u,dep[v]=dep[u]+1;
        dfs1(v);f[u][0]+=f[v][0];
    }
}
void dfs2(int u)
{
    for(int i=1;i<20;i++)f[u][i]=f[u][i-1]+f[fa[u][i-1]][i-1];
    for(int i=1;i<20;i++)g[u][i]=g[u][i-1]+g[fa[u][i-1]][i-1];
    for(int e=first[u];e;e=nxt[e])
    {
        int v=to[e];
        if(v==fa[u][0])continue;
        g[v][0]=f[u][0]+g[u][0]-f[v][0];
        dfs2(v);
    }
}
void solve(int x,int y)
{
    ll ans=0;
    if(dep[x]>dep[y])
    {
        int det=dep[x]-dep[y];
        for(int i=0;i<20;i++)
            if(det>>i&1)ans+=f[x][i],x=fa[x][i];
    }
    else if(dep[y]>dep[x])
    {
        int det=dep[y]-dep[x];
        for(int i=0;i<20;i++)
            if(det>>i&1)ans+=g[y][i],y=fa[y][i];
    }
    for(int i=19;i>=0;i--)if(fa[x][i]!=fa[y][i])
    {
        ans+=f[x][i]+g[y][i];
        x=fa[x][i],y=fa[y][i];
    }
    if(x!=y)ans+=f[x][0]+g[y][0];
    printf("%lld\n",ans);
}
int main()
{
    //freopen("lx.in","r",stdin);
    int x,y;
    n=getint();
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        x=getint(),y=getint();
        add(x,y),add(y,x);
    }
    dfs1(1),g[1][0]=0,dfs2(1);
    m=getint();
    while(m--)
    {
        x=getint(),y=getint();
        solve(x,y);
    }
    return 0;
}