題目描述

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題解

首先考慮固定k個元素，方案為Ckn
還剩下2n−k個集合，可以任選若干個集合C12n−k+C22n−k+..+C2n−k2n−k=22n−k
但是這樣選出來的有可能有不合法的，交集大小可能大於k，所以要減去k+1，加上k+2…
就是個容斥了
設f(k)=Ckn∗(22n−k)
那麼答案應該為f(k)∗Ckk−f(k+1)∗Ckk+1+f(k+2)∗Ckk+2...f(n)∗Ckn
容斥係數我剛開始是找的規律，但是後來發現，因為第一項即使不考慮交集大小可以大於k的情況，也會多出來很多重複的情況，因為選取的k個元素和選取的集合可能是重複的。那麼後面進行容斥的時候就要利用組合數將重複的去掉
對於2

程式碼

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
 

#include<cmath>
using namespace std;
#define Mod 1000000007
#define N 1000005
#define LL long long

int n,k,f;
LL mi[N],mul[N],inv[N],ans;

void calc(int n)
{
    mul[0]=1;
    for (int i=1;i<=n;++i) mul[i]=mul[i-1]*(LL)i%Mod;
    inv[1]=1;
    for (int i=2;i<=n;++i) inv[i]=inv[Mod%i]*(Mod-Mod/i)%Mod;
    inv[0
 
]=1;
    for (int i=1;i<=n;++i) inv[i]=inv[i]*inv[i-1]%Mod;
    mi[0]=1;
    for (int i=1;i<=n;++i) mi[i]=mi[i-1]*(LL)2%(Mod-1);
}
LL fast_pow(LL a,int p,int mod)
{
    LL ans=1;
    for (;p;p>>=1,a=a*a%mod)
        if (p&1)
            ans=ans*a%mod;
    return ans;
}
LL C(int n,int m)
{
    if (m>n) return 0;
    return mul[n]*inv[m]%Mod*inv[n-m]%Mod;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&k);
    calc(n);
    f=1;
    for (int i=k;i<=n;++i,f=-f)
        ans+=C(n,i)*(fast_pow(2,mi[n-i],Mod)-1)%Mod*C(i,k)%Mod*f;
    ans=(ans%Mod+Mod)%Mod;
    printf("%lld\n",ans);
}