自然數冪和伯努利數

假設我們現在要求
G(N,k)=∑N−1i=0ik
N≤1018,k≤105
結果對998244353取模

通常的思路是直接列舉i，但此時的N非常大，所以我們只能考慮轉化問題。

為了解決這題，我們先引入一個量——-伯努利數Bi

其定義為
B0=1
∑ni=0Cin+1Bi=0，n>0

也可以用冪級母函式來表示

xex−1=∑i≥0Bi∗xii!

我們再定義一個多項式Bn(t)

Bn(t)=∑k=0n−1Bk∗tn−k∗Ckn

我們還有

Bn(t+1)−Bn(t)=∑k=0n−1Bk∗⟮(t+1)n−k−tn−k⟯Ckn
=∑k=0n−1Bk∗(∑i=0n−k−1Cin−k∗ti)∗

Ckn
=∑k=0n−1Bk∗(∑i=0n−k−1Cin−k∗ti∗Ckn)
=∑k=0n−1Bk∗(∑i=0n−k−1Ckn−i∗ti∗Cin)
=∑i=0n−1Cin∗ti∗∑k=0n−1

自然數冪和伯努利數

假設我們現在要求 G(N,k)=∑N−1i=0ik N≤1018,k≤105 結果對998244353取模通常的思路是直接列舉i，但此時的N非常大，所以我們只能考慮轉化問題。為了解決這題，我們先引入一個量——-伯努利數Bi 其定義為 B0=1

伯努利數與自然數冪和

ots 第一次伯努利數 pos display 自然數冪和關系次數我們數學上，伯努利數 $B_n$的第一次發現與下述數列和的公式有關：\[\sum_{k=1} ^ {n} k ^ m = 1 ^ m + 2 ^ m + 3 ^ m + \dots + n ^

伯努利數的應用

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伯努利數

lan gpo -i n+1 n! ips http tail class 定義：$\frac{t}{e^t-1}=\sum_{i=0}^\infty \frac{B_n}{n!}t^i$，可將定義式進行泰勒展開，再用多項式求逆求出前n項。遞推式：$B_n=-\frac{

自然數冪和斯特林數

2018 UPD：其實第二類斯特林數做自然數冪和更簡單，這裡簡單寫一下：由一個基本式子出發 nk=∑i=0k{ki}[n]i 考慮對n求和 Ans=∑i=0nik=∑i=0n∑j=0k{kj}[i]j =∑j=0k{kj}∑i=0n[i]j =

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大致題意：給你k和m，還有n分解質因子之後的質因子及其對應的指數，讓你求。首先，這種含有gcd的式子，第一步肯定是進行莫比烏斯反演，這裡由於前面好幾篇都由類似的反演形式，所以我就不展開了，直接就得出反演之後的結果：

[51nod 1258] [伯努利數] [多項式求逆] [任意模數NTT] 序列求和 V4

上次做一套模擬賽的時候，其中需要求自然數k次冪和，然後我只會n^2的…我記得n^2有20分，nlogn求可以爆到90分…… ——鏼鏼鏼2015年國家集訓隊論文大概就這樣多項式求個逆，求出生成函式就可以了這樣是O(nlogn)，但這道題模數不是滿

51nod 1228 （伯努利數 + 組合數學）

題目：求這個∑i=1nik 題目給你 n ， k。分析：伯努利數於冪數和的關係：伯努利數：這麼多性質可以直接寫了 Code： import java.util.Scanner; public class Main {

【伯努利數】

問題：設T(n,k)=nkT(n,k)=nk，S(n,k)=∑ni=1T(i)S(n,k)=∑i=1nT(i)。給出n和k，求S(n)。例如k=2，n=5，S(n,k)=12+22+32+42+52

伯努利數(Bernoulli)——學習筆記

伯努利數( BernoulliBernoulli ) B0=1B1=−12B2=16B3=0B4=130...B0=1B1=−12B2=16B3=0B4=130... 可以從下式得到： B0

HDU 6439 2018CCPC網路賽 Congruence equationI（杜教篩 + 莫比烏斯反演 + 伯努利數）

大致題意：給你一個長度為k的序列a。對於序列c，當時，；當時，取[0,m)中任意一個數字。令表示滿足的序列c的方案數。現在讓你求。首先，根據裴蜀定理，滿足的條件是，那麼我們不妨分為兩種情況處理。對於的數字，假設他們的gcd為g，那麼剩下的

洛谷3711：倉鼠的數學題（NTT+伯努利數）

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