分工問題如下：某公司有工作人員x1,x2,...,xn,他們去做工作y1,y2,...,yn,每人適合做其中的一項或幾項工作，每個人做不同的工作的效益不一樣，我們需要制定一個分工方案，使公司的總效益最大，這就是所謂最佳分配問題， 它們數學模型如下： 數學模型：
    G是加權完全二分圖，V(G)的二分圖劃分為X，Y；X={x1,...,xn},Y={y1,y2,...yn},w(xiyi)>=0是工作人員xi做yi工作時的效益，求權最大的完備匹配，這種完備匹配稱為最佳匹配。
這個問題好象比較的棘手，用窮舉法的話舉也舉死了，效率很低。本節給出一種有效演算法，為此，先引入一個定義和一個定理。

定義1   對映l:V(G)->R，滿足：任意x∈X,任意y∈Y,成立
l(x)+l(y)>=w(xy),
則稱l(v)是二分圖G的可行頂標；令
El={xy|xy∈E(G),l(x)+l(y)=w(xy)},
稱以El為邊集的G之生成子圖為相等子圖，記為Gl
可行頂標是存在的，例如
l(x)=max w(xy),x∈X;
l(y)=0, y∈Y.

定理1 Gl的完備匹配即為G的最佳匹配。
證：設M*是Gl的一個完備匹配，因Gl是G的生成子圖，故M*也是G的完備匹配。M*中的邊之端點集合含G的每個頂點恰一次，所以
W(M*)=Σw(e)=Σl(v) (e∈M*,v∈V(G)).
另一方面，若M是G中任意一個完備匹配，則
W(M)=Σw(e)<=Σl(v) (e∈M,v∈V(G)),
所以
W(M*)>=W(M)，
即M*是最佳匹配，證畢。

定理1告知，欲求二分圖的最佳匹配，只需用匈牙利演算法求取其相等子圖的完備匹配；問題是，當Gl中無完備匹配時怎麼辦？Kuhn和Munkras給出修改頂標的一個演算法，使新的相等子圖的最大匹配逐漸擴大，最後出現相等子圖的完備匹配。

Kuhn-Munkras演算法：
(0) 選定初始的可行頂標l,確定Gl,在Gl中選取一個匹配M。
(1) X中頂皆被M許配，止，M即為最佳匹配；否則，取Gl中未被M許配的頂u,令S={u},T為空。
(2) 若N(S)真包含T，轉(3)；若N(S)=T，取
al=min(l(x)+l(y)-w(xy)}(x∈S,y∈T),
l(v)-al,v∈S;
l(v)= l(v)+al,v∈T;
l(v),其它。
l=l,Gl=Gl。
(3) 選N(S)-T中一頂y,若y已被M許配，且yz∈M,則S=S∪{z},T=T∪{y},轉(2)；否則，取Gl中一個M的可增廣軌P(u,y),令M=M⊙E(P)，轉(1)。

上面的演算法看得有點莫名，改那個可行頂標怎麼改改就好了？還是得看盾例子
例1   已知K5,5的權矩陣為
y1 y2 y3 y4 y5
x1 3 5 5 4 1
x2 2 2 0 2 2
x3 2 4 4 1 0
x4 0 1 1 0 0
x5 1 2 1 3 3

求最佳匹配，其中K5,5的頂劃分為X={xi},Y={yi},i=1,2,3,4,5.
解： (1)取可行頂標l(v)為l(yi)=0,i=1,2,3,4,5；l(x1)=max(3,5,5,4,1}=5,l(x2)=max{2,2,0,2,2}=2,l(x3)=max(2,4,4,1,0}=4,l(x4)=max{0,1,1,0,0}=1,l(x5)=max{1,2,1,3,3}=3.
(2) Gl及其上之匹配見圖7.12。
這個圖中ο(G-x2)=3,由Tutte定理知無完備匹配。需要修改頂標。 (3) u=x4,得S={x4,x3,x1},T={y3,y2},N(S)=T,於是
al=min(l(x)+l(y)-w(xy)}=1. (x∈S,y∈T)
x1,x2,x3,x4,x5的頂標分別修改成4,2,3,0,3；y1,y2,y3,y4,y5的頂標分別修改成0,1,1,0,0。
(4) 用修改後的頂標l得Gl及其上面的一個完備匹配如圖7.13。圖中粗實線給出了一個最佳匹配，其最大權是2+4+1+4+3=14。

我們看出：al>0；修改後的頂標仍是可行頂標；Gl中仍含Gl中的匹配M；Gl中至少會出現不屬於M的一條邊，所以會造成M的逐漸增廣。 得到可行頂標後求最大匹配：

書上這部分沒講，實際上是這樣的，對於上面這個例子來說，通過Kuhn-Munkres得到了頂標l(x)={4,2,3,0,3},l(y)={0,1,1,0,0},那麼，對於所有的l(xi)+l(yj) =w(i,j)，在二分圖G設定存在邊w(i,j)。再用匈牙利演算法求出最大匹配，再把匹配中的每一邊的權值加起來就是最後的結果了。

#include <cstdio> #include <memory.h> #include <algorithm> // 使用其中的 min 函式 using namespace std; const int MAX = 1024; int n; // X 的大小 int weight [MAX] [MAX]; // X 到 Y 的對映（權重） int lx [MAX], ly [MAX]; // 標號 bool sx [MAX], sy [MAX]; // 是否被搜尋過 int match [MAX]; // Y(i) 與 X(match [i]) 匹配 // 初始化權重 void init (int size); // 從 X(u) 尋找增廣道路，找到則返回 true bool path (int u); // 引數 maxsum 為 true ，返回最大權匹配，否則最小權匹配 int bestmatch (bool maxsum = true); void init (int size) { // 根據實際情況，新增程式碼以初始化 n = size; for (int i = 0; i < n; i ++) for (int j = 0; j < n; j ++) scanf ("%d", &weight [i] [j]); } bool path (int u) { sx [u] = true; for (int v = 0; v < n; v ++) if (!sy [v] && lx[u] + ly [v] == weight [u] [v]) { sy [v] = true; if (match [v] == -1 || path (match [v])) { match [v] = u; return true; } } return false; } int bestmatch (bool maxsum) { int i, j; if (!maxsum) { for (i = 0; i < n; i ++) for (j = 0; j < n; j ++) weight [i] [j] = -weight [i] [j]; } // 初始化標號 for (i = 0; i < n; i ++) { lx [i] = -0x1FFFFFFF; ly [i] = 0; for (j = 0; j < n; j ++) if (lx [i] < weight [i] [j]) lx [i] = weight [i] [j]; } memset (match, -1, sizeof (match)); for (int u = 0; u < n; u ++) while (1) { memset (sx, 0, sizeof (sx)); memset (sy, 0, sizeof (sy)); if (path (u)) break; // 修改標號 int dx = 0x7FFFFFFF; for (i = 0; i < n; i ++) if (sx [i]) for (j = 0; j < n; j ++) if(!sy [j]) dx = min (lx[i] + ly [j] - weight [i] [j], dx); for (i = 0; i < n; i ++) { if (sx [i]) lx [i] -= dx; if (sy [i]) ly [i] += dx; } } int sum = 0; for (i = 0; i < n; i ++) sum += weight [match [i]] [i]; if (!maxsum) { sum = -sum; for (i = 0; i < n; i ++) for (j = 0; j < n; j ++) weight [i] [j] = -weight [i] [j]; // 如果需要保持 weight [ ] [ ] 原來的值，這裡需要將其還原 } return sum; } int main() { int n; scanf ("%d", &n); init (n); int cost = bestmatch (true); printf ("%d ", cost); for (int i = 0; i < n; i ++) { printf ("Y %d -> X %d ", i, match [i]); } return 0; } /* 5 3 4 6 4 9 6 4 5 3 8 7 5 3 4 2 6 3 2 2 5 8 4 5 4 7 //執行bestmatch (true) ，結果為 29 */ /* 5 7 6 4 6 1 4 6 5 7 2 3 5 7 6 8 4 7 8 8 5 2 6 5 6 3 //執行 bestmatch (false) ，結果為 21 */