package dynamic_programming;

/**
* @author Tom Qian
* @email [email protected]
* @github https://github.com/bluemapleman
* @date 2017年8月22日
*/

/* 問題：我們有無數個面值為1、3、5的硬幣，試問給定目標值n，如何用最少的1、3、5硬幣組合出n值。
*
* 思路：
* 動態規劃問題的解答分成兩步：1、定義狀態 2、找到狀態轉移方程
*
* 1、定義狀態
* 狀態描述的是子問題的解。而子問題顧名思義，是我們面對的原始問題的一個子問題，只要解決了這個子問題，那麼原始問題也能迎刃而解。
* 在硬幣問題中，原始問題是我們最少用多少個硬幣能組合出n值，那麼我們就往簡單一點想：最少用多少個硬幣能組合出n-1值呢？因為假設我們只有一元硬幣時，我們要組合出n值，獲得solutions(n)，是不是隻需要知道solutions(n-1)即可，因為solutions(n)=solutions(n-1)+1，只要再拿一枚一元硬幣就ok。同樣繼續回推，solutions(n-1)=solutions(n-2)+1……
*
* （……..是不是有點遞迴的味道？而其實，動態規劃就是一種優化的遞迴方式。大概可以先這樣理解：遞迴需要重複對比較低層次的最優解進行計算，而動態規劃把不斷地把低階解給儲存起來，以備後面求解更高層次的最優解時使用，因此一般動態規劃的效率會比遞迴高一些）
*
* 你可能奇怪，這麼簡單的問題有什麼好推的？
* 而關鍵在於，絕大多數時候，我們有不只一個選擇（硬幣不會只有一種面值的） ，比如下面的程式碼闡述的是硬幣有1、3、5三種面值時所有對應的最少硬幣數解，這種情況下，當你想用動態規劃思路求solutions(n)，你有三種選擇：
* 1. 拿一枚1元硬幣：choice1=solutions(n-1)(組合出n-1值的最少硬幣數)+1(1枚1元硬幣)
* 2. 拿一枚3元硬幣：choice2=solutions(n-3)(組合出n-3值的最少硬幣數)+1(1枚3元硬幣)
* 3 拿一枚5元硬幣：choice3=solutions(n-5)(組合出n-5值的最少硬幣數)+1(1枚5元硬幣)
* 這三種和硬幣種類一一對應的選擇，就是三種狀態/子問題的解。而接下來我們需要在三個解中作出一個抉擇–>選擇值最小的那個解，即硬幣數最少的情況，那麼顯然，可以表達為：solutions(n)=min(choice1,choice2,choice3).而這樣也就引出了下面一個問題：在不同狀態/子問題的解中抉擇的依據，即我們需要定義的狀態轉移方程。
* 上述的是一個一般性的情況，而這樣不斷回推，顯然我們的問題會被推演到最初始最簡單的一些問題的解，而它們是解決上一段中那些高層次問題解的基礎：當我們有1、3、5三種硬幣時，我們需要多少個硬幣組合出0值->0個（不需要拿硬幣出來），1值->1個，2值->2個。這三個解拍拍腦袋直接想出來，因為你只有用1元硬幣去組合這一種選擇，可是當面對n=3時，你有兩個選擇，1.再拿一枚1元硬幣 2.丟掉手裡兩枚1元硬幣，拿一枚3元硬幣 顯然後者是目標解。即此時，如上一段所屬，因為硬幣的可選數超過了1，我們開始需要做解的抉擇，即必須用到狀態轉移方程了！
*
* 2、找到狀態轉移方程
* 當我們面對兩種狀態（解）的選擇時，根據我們的問題，我們必須從中做出抉擇。顯然，這裡我們要找最少的

硬幣數，那麼當我們面對n=3時，我們需要的解即為：
*
* min(solution(3-1)+1,solution(3-3)+1)
*
* 顯然，拿一枚面值3的硬幣就行了，而我們在這兩個解之間抉擇出一個目標解的過程即為狀態轉移方程（此處是找出最小值）。
*
* 那麼總結一下：解硬幣問題的過程就變成了這樣：
*
* 我們從最簡單的狀態開始，目標值n=1，n=2，n=3….,而解出簡單狀態的過程需要我們用這樣的邏輯去處理：
* 當n==0時，直接把解solutions[0]置為0（不需要拿出硬幣）
* 當n>0時，看有無面值比當前n小或相等的硬幣？
* - 沒有的話，無解，solutions[n]=Integer.MAX_VALUE。
* - 有的話，比較min(solution(n-vj)+1) j=1,2,…,J所有面值硬幣數，即把所有可能的硬幣選擇解全部做比較，選出最小的那個。
*/

public class 硬幣問題
{
    public static int leastCoins(int goal,int []coins){
        if(goal==0)
            return 0;

    int [] solutions=new int[goal+1];

    for(int i=0;i<solutions.length;i++)
        solutions[i]=Integer.MAX_VALUE-10000;

    solutions[0]=0;


    for(int i=coins[0];i<=goal;i++){
        for(int j=0;j<coins.length;j++){
            if(coins[j]<=i && solutions[i-coins[j]]+1<solutions[i])
                solutions[i]=solutions[i-coins[j]]+1;
        }
    }

    return solutions[solutions.length-1];
}

public static void main(String[] args)
{
    int[] coins={1,3,5};
    for(int i=0;i<10;i++){
        System.out.println(leastCoins(i, coins));
    }

}

}