於是，我們在完成神奇的前兩步之後，來到了這個神奇的地方——歐幾里得演算法和擴充套件歐幾里得演算法。
那麼，這是用來幹什麼的演算法呢？
算最大公約數（GCD）~~~
好吧，考慮到有一些同學可能還不知道這是怎樣一種神奇的東西，那麼我就把這個東西的定義放到下面來：

最大公因數，也稱最大公約數、最大公因子，指兩個或多個整數共有約數中最大的一個。a和b的最大公約數可以用gcd(a,b)表示

嗯嗯，就是這樣子的

那麼，我們的歐幾里得演算法又是怎麼算這樣一個神奇的東西的呢？

它有一個更加生動的名字叫做輾轉相除法，因為，在我們實際執行的時候就可以發現，它其實就是這樣除來除去的~~~

那麼，我們在做除法的過程中呢，選擇的是帶餘除法，說的簡單粗暴一點，就是計算的結果是商和餘數。

現在，歐幾里得演算法的過程大概如下

設兩數為a、b(a>b)，求a和b最大公約數(a，b)的步驟如下：用a除以b，得a÷b=q……r1(0≤r1)。若r1=0，則(a，b)=b；若r1≠0，則再用b除以r1，得b÷r1=q……r2 (0≤r2）.若r2=0，則(a，b)=r1，若r2≠0，則繼續用r1除以r2，……如此下去，直到能整除為止。其最後一個為被除數的餘數的除數即為(a, b)。

當然，我們也可以簡化出這樣一種神奇的式子來總結一下gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)
嗯，這就是我們歐幾里得演算法的精髓（其實就這一句話，別的都是把你搞暈過去的）

證明如下：（借鑑了一點百度百科）

設兩數為a、b(a>b)，用gcd(a,b)表示a，b的最大公約數，r=a mod b 為a除以b的餘數，k為a除以b的商，即a÷b=k.......r。
第一步：令c=gcd(a,b)，則設a=mc，b=nc
第二步：根據前提可知r =a-kb=mc-knc=(m-kn)c
第三步：根據第二步結果可知c也是r的因數
第四步：可以斷定m-kn與n互質(假設m-kn=xd，n=yd (d>1)，則m=kn+xd=kyd+xd=(ky+x)d，則a=mc=(ky+x)cd，b=nc=ycd，則a與b的一個公約數cd>c，故c非a與b的最大公約數，與前面結論矛盾)，因此c也是b與r的最大公約數。
從而可知gcd(b,r)=c，繼而gcd(a
 
,b)=gcd(b,r)。
證畢。
以上步驟的操作是建立在剛開始時r!=0的基礎之上的。即m與n亦互質。

那麼，我們的程式碼如何實現呢？

int gcd(int a,int b){
    if(b==0)return a;//顯然，這就是遞迴的邊界
    else return gcd(b,a%b);//這也很顯然（其實那個else是可以刪掉的）
}

這樣，gcd函式的返回值就是a和b的最大公約數的值了。

那麼，我們來說說擴充套件歐幾里得是個什麼神奇的東西

首先，擴充套件歐幾里得演算法是用來幹什麼的呢？

其實，是解一種神奇的方程的—>ax+by=gcd(a,b)在這裡，a和b是常數，我們需要求出x，y的值使之成立。啊………

那麼，它的用處也很明顯了：求解線性模方程和方程組。

（當然這只是大多數用處）

那麼，程式碼如下

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
    if(!b){
        x=1;y=0;
        return a;
    }
    int rec=exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return rec;
}
int main(){
    int i,j,k,m,n,a,b,x,y;
    cin>>a>>b;
    cout<<exgcd(a,b,x,y)<<endl;
    cout<<x<<" "<<y<<endl;
    return 0;
}

顯然，神奇的程式碼就在這裡了，由於和樸素的歐幾里得演算法沒有什麼新的難的地方（當然樸素的也沒有什麼難的），證明過程和詳細的註釋就省略了~

好了，我們 LG的數學計劃 第三步就這麼愉快的結束了，拜拜~~
第四步 神奇的傳送門（當然現在這是我自己的了）
:)

當然你也可以選擇訪問LYQ的文章傳送到神奇的LYQ

大家下一步再見咯~