這個應該是我在noip前就應該會的東西 ，但是當時也許只是記下了程式碼吧 ，現在有諸多的不理解。後來藉著書和幾篇部落格弄懂了並小證了一下，鑑於網上有些部落格關於這個的寫的真的不好看，所以自己來總結一下，順帶以後也能看。
順帶一提，gcd(a,b)表示a,b的最大公約數。

歐幾里德演算法

輾轉相除法求最大公約數問題，同可求最小公倍數。
既然是輾轉相除法，自然就是%%%，%到互相整除為止。程式碼也很詳盡簡潔。

int regulargcd(int x,int y)
{
    return y==0?x:(regulargcd(y,x%y));
}

最小公倍數為兩數之積除以他們的最大公約數，相信大家都能明白。

擴充套件歐幾里德演算法

我之前一直困惑的是它為什麼可以求不定方程的解，後來基本明白了：
給定一個形如方程ax+by=d，求它的整數解。
我們知道a,b為整數，d是整數，使得x,y為整數解，那麼需要約掉係數中相同的部分，於是

再推到一般，若a,b互質，有ax+by=1有解。

然後接下來我們考慮特殊解的情況：

gcd(a,b)遞迴的最終結果為gcd(k,0),假定方程有解，那麼最終有a∗1+b∗0=gcd(a,b)，即a∗1+b∗0=1，即x=1， y=0出現，這是在求gcd時遞迴形成的。若我們也這樣地求解方程呢？

於是我們來找ax+by=gcd(a,b)與bx′+(a%b)∗y′=gcd(b,a%b)的關係,由於a%b=a−(a/b)∗b（整數除法） 所以代入有

於是原方程解為x=y′,y=x′−(a/b)∗y′。
這樣我們就能遞迴地計算方程的解了。

int extgcd(int a,int b,int &x,int &y
 
)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    else
    {
        int ans;
        ans=extgcd(b,a%b,x,y);
        int tmp=x;
        x=y;
        y=tmp-(a/b)*y;
        return ans;
    }
}

不定方程不是有很多解嗎？是的，這只是最小解。設最小解為x0,y0，它的所有解為x=x0+bgcd(a,b)和y=y0+agcd(a,b)。（自己帶到方程裡展開就有恆等式，這裡不證了）當gcd(a,b)=1時，有x=x0+b,y=y0+a。

    while(x<=0)
    {
        x+=(b/res);
    }
    printf("%d\n",x);

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <queue>
//zoj3609 AC
using namespace std;

int extgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    else
    {
        int ans;
        ans=extgcd(b,a%b,x,y);
        int tmp=x;
        x=y;
        y=tmp-(a/b)*y;
        return ans;
    }
}

int regulargcd(int x,int y)
{
    return y==0?x:(regulargcd(y,x%y));
}

int main()
{
    int a,b;
    int cas;
    scanf("%d",&cas);
    for(int z=0;z<cas;z++)
    {
        scanf("%d%d",&a,&b);
        int x,y;
        if(regulargcd(a,b)==1)
        {
            int res=extgcd(a,b,x,y);
            if(x>0)
            {
                printf("%d\n",x);
            }
            else
            {
                while(x<=0)
                {
                    x+=(b/res);
                }
                printf("%d\n",x);
            }
        }
        else
        {
            printf("Not Exist\n");