關於歐幾里得演算法，貝祖等式，擴充套件歐幾里得演算法，Wikipedia的解釋非常非常詳細了。
另外，看了好多別人優秀的總結，我認為最詳盡的就是ACM之家的總結。
這裡自己再總結一次…實際上就是把別人總結的，我認為有助於自己理解的內容copy過來，再加上幾句自己的理解。

本文包括：

1. 歐幾里德演算法 遞迴實現
2. 歐幾里德演算法 非遞迴實現
3. 貝祖等式
4. 擴充套件歐幾里德演算法 遞迴實現
5. 擴充套件歐幾里德演算法 非遞迴實現

歐幾里得演算法

歐幾里德演算法又稱輾轉相除法，用於計算兩個整數a,b的最大公約數 gcd(a,b)。基本演算法：設 a = qb + r，其中a，b，q，r都是整數，則 gcd(a,b) = gcd(b,r)，即 gcd(a,b) = gcd(b,a%b)。

證明：
a = qb + r
如果 r = 0，那麼 a 是 b 的倍數，此時顯然 b 是 a 和 b 的最大公約數。
如果 r ≠ 0，任何整除 a 和 b 的數必定整除 a - qb = r，而且任何同時整除 b 和 r 的數必定整除 qb + r = a，所以 a 和 b 的公約數集合與 b 和r 的公約數集合是相同的。特別的，a 和 b 的最大公約數是相同的。

遞迴實現：

int gcd(int a, int b)
{
    return b == 0 ? a : gcd(b, a%b);
}

非遞迴實現：

int gcd(int a, int b)
{
    while
 
(b)
    {
        int t = b;
        b = a % b;
        a = t;
    }
    return a;
}

貝祖等式

在數論中，裴蜀等式（英語：Bézout’s identity）或貝祖定理（Bézout’s lemma）是一個關於最大公約數（或最大公約式）的定理。裴蜀定理得名於法國數學家艾蒂安·裴蜀，說明了對任何整數a、b和它們的最大公約數d，關於未知數x和y的線性丟番圖方程（稱為裴蜀等式）：
ax + by = m 有整數解時當且僅當m是d的倍數。
裴蜀等式有解時必然有無窮多個整數解，每組解x、y都稱為裴蜀數，可用擴充套件歐幾里得演算法(Extended Euclidean algorithm)求得。

例如，12和42的最大公因數是6，則方程12x+42y=6有解。事實上有(-3)×12 + 1×42 = 6及4×12 + (-1)×42 = 6。

特別來說，方程 ax+by=1 有整數解當且僅當整數a和b互素。
裴蜀等式也可以用來給最大公約數定義： d其實就是最小的可以寫成ax+by形式的正整數。(這個定義的本質是整環中“理想”的概念。因此對於多項式整環也有相應的裴蜀定理。)

證明:

如果 a 和 b 中有一個是 0，比如 a=0，那麼它們兩個的最大公約數是 b。這時裴蜀等式變成 by=m，它有整數解 (x,y) 當且僅當 m 是 b 的倍數，而且有解時必然有無窮多個解，因為 x 可以是任何整數。定理成立。
以下設 a和 b 都不為0。
設 A={xa+yb;(x;y)∈Z2} ，下面證明A中的最小正元素是 a 與 b 的最大公約數。
首先，A∩N∗ 不是空集（至少包含|a| 和|b|），因此由於自然數集合是良序的， A 中存在最小正元素d0=x0a+y0b。考慮A中任意一個正元素p（=x1a+y1b）對 d0 的帶餘除法：設p=qd0+r，其中 q 為正整數，0≤r<d0。但是
r=p−qd0=x1a+y1b−q(x0a+y0b)∈A
而d0 已經是集合 A 中最小的正元素了，又 0≤r<d0,所以 r=0。
因此 d0|p。也就是說，A中任意一個正元素p都是 d0 的倍數，特別地：d0|a、d0|b。因此 d0 是 a 和 b 的公約數。
另一方面，對 a 和 b 的任意正公約數d，設 a=kd、b=ld，那麼
d0=x0a+y0b=(x0k+y0l)d
x0k+y0l≥1 ,因此 d|d0。所以 d0 是 a 和 b 的最大公約數。
在方程ax+by=m中，如果 m=m0d0，那麼方程顯然有無窮多個解：

相反的，如果ax+by=m有整數解，那麼 |m|∈A，於是由前可知 d0|