新博文地址:  [狀態轉移思想解讀：歐幾里德演算法及擴充套件](http://blog.csdn.net/sunliymonkey/article/details/46755983)

歐幾里德是用來求最大公約數的，可以把它看成是狀態轉移，

對任意兩個數a，b（a>b），d=gcd（a，b），如果b不為零，那麼gcd（a，b）=gcd（b，a%b）

        證明： 令 r=a%b，即存在k，使得 a=b*k+r，那麼r=a-b*k；顯然r>=0,  r%d=（（a%d）-（b*k）%d）%d，因為a%d=b%d=0，所以r%d=0；

因此求gcd（a，b）可以轉移到求gcd（b，a%b），那麼這就是個遞迴過程了，那什麼時候遞迴結束呢，想一下，a，b不能為零，則可以把當b為零，作為遞迴的結束（當然還可以以其它結束條件），這就是求最大公約數的方法可以以其它結束條件），這就是求最大公約數的方法

int gcd(int a,int b)
{
    if(b==0)return a;
 
    else return gcd(b,a%b);
 }

理解了上面，那麼擴充套件歐幾里得就能很容易理解了，對任意a，b（a>b），我們列出這樣一個式子： a*x+b*y=gcd(a,b);

不要覺得擴充套件歐幾里得很牛逼，它就是一個算x，y的一個方法，只是在上面gcd中多了處理x，y的步驟

我們這樣來想：

已知當前的一個狀態：a1  b1  x1  y1,    a1*x1+b1*y1=gcd(a1,b1),注意這裡的a1，b1是求gcd（a，b）中的一個狀態，

假設 （a1，b1）是由（a0，b0）轉移過去的

那麼：   a1=b0 ;     b1=a0%b0=a0-k*b0 （k=int(a0/b0)）;gcd(a0,b0)=gcd(a1,b1);

代入a1*x1+b1*y1=gcd(a1,b1),變化成：b0*x1+(a0-k*b0)*y1=gcd(a1,b1)=gcd(a0,b0);

a0*y1+b0*(x1-k*y1)=gcd(a0,b0);

這樣可以得到： x0=y1;  y0=x1-k*y1;(理解這個過程了麼，由當前狀態可以算出上一狀態的x，y，即當前狀態可以由它的下一個狀態的x，y得到)

code：

int exGcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
	if(b==0)
	{
		x=1;
		y=0;
		return a;// 此時a是最開始（a,b）的最大公約數，那麼  gcd（a,b）*1+ 0*0=gcd(a,b),肯定對的，在這裡，我認為，y可以為任何值都對
	}
	
	int d=exGcd(b,a%b,y,x);
	y-=a/b*x;
	return d;//返回最大公約數
}
 

應用：

擴充套件歐幾里得演算法的應用基本全都是基於：a*x+b*y=d 這個式子來發散的