exgcd入門以及同餘基礎

gcd，歐幾里得的智慧結晶，資訊競賽的重要演算法，數論的...（編不下去了

講exgcd之前，我們先普及一下同餘的性質：

1. 
2. 
3. 
4. 若，那麼
5. 若，，且p1，p2互質，
6. 若，k和c為整數，而且k>0，那麼
7. 若，那麼就可以推出，則有

 有了這三個式子，就不用怕在計算時溢位了。

下面我會用與分別表示a與b的最大公約數與最小公倍數。

首先會來學擴歐的同學肯定都會歐幾里得演算法（即輾轉相除法）了吧

而通過觀察發現：，先除後乘防溢位。

所以與的程式碼如下：

inline int gcd(int a,int b)
{return (b==0)?a:gcd(b,a%b);}
inline int lcm(int a,int b)
{return a/gcd(a,b)*b;}
 

講exgcd之前先引入一種方程——不定方程

所謂不定方程，是指未知數的個數多於方程個數，且未知數受到某些限制（如要求是有理數、整數或正整數等等）的方程或方程組。
                                                                                          ————百度百科

就是形如的方程，其中a，b，c已知。

1.判斷是否有解

如果，那麼方程無解。

2.轉化

方程可轉化為，

其中，，

3.求一組特解

接著就用到了exgcd。

我們知道gcd有一個性質

如果，一直迴圈下去，b將等於0，那麼x將等於c/a，y=0。

inline void exgcd(int a,int b,int c)
{
    if(!b)
    {x=c/a;y=0;return;}
    exgcd(b,a%b,c);
    x=y;
    y=(c-a*x)/b;
    return;
}

這就求出了一組特解。

exgcd的模板我也在這擺出來

inline void exgcd(int a,int b)
{
    if(!b)
    {x=1;y=0;return;}
    exgcd(b,a%b);
    k=x;x=y;
    y=k-a/b*y;
    return;
}

這是求時用的，後面講同餘方程會講。

4.構造通解

我們假設x1，y1是我們求出的一組特解，那麼

同餘類問題

1.單個同餘方程

求的是關於x的解

轉化一下，就成了，就可以直接套exgcd模板。

2.同餘方程組

1.有解的充要條件

2.

下式減上式得

再用exgcd求出y1和y2，

3.關於通解

所有的x mod lcm(p1,p2)有唯一解，這樣就可以通過特解，求通解了。

4.至於式子更多的同餘方程組，就先聯立兩個，就可以得出新的方程

再聯立下一個。

exgcd用處及題目講解

1.求同餘方程的解

例如這道題P1082

這是一道裸的擴歐模板題，變形之後就是求。

套模板即可。

inline void exgcd(int a,int b)
{
    if(b==0)
    {x=1;y=0;return;}
    exgcd(b,a%b);
    k=x;x=y;
    y=k-a/b*y;
    return;
}
int main()
{
    int n,m;
    read(n),read(m);
    exgcd(n,m);
    printf("%d",(x+m)%m);
}

我校某退役選手暴力80分，%%（你谷資料水

int main()
{
    long long int a,b,c,d=0;
    int j=0;
    io::begin();
    io::read(a);io::read(b);
    while(d!=1)
    {   
        ++j;d=a+d;
    	while(d>b)d-=b;
    }
    write(j);
    return 0;
}

還有一道模板P1516

仔細觀察，推一下後我們發現，這在就是在求的解。

進而可以推出

合併同類項後

把一些東西移到左邊來後

把(x-y)，(n-m)各看成一個整體後，問題就成了解一個不定方程。

inline int exgcd(long long a,long long b)
{
    if(b==0)
    {x=1;y=0;return a;}
    ans=exgcd(b,a%b);
    k=x;x=y;
    y=k-a/b*y;
    return ans;
}
int main()
{
    long long x1,y1,m,n,l;
    read(x1),read(y1),read(m),read(n),read(l);
    if(n-m<0)swap(x1,y1);
    exgcd(std::abs(n-m),l);
    if((x1-y1)%ans!=0)
    printf("Impossible");
    else
    printf("%lld",((x*((x1-y1)/ans))%(l/ans)+(l/ans))%(l/ans));
}

還有一道也是模板P4777，涉及同餘方程組求解，上面已詳細的講了，近期我也會發一篇中國剩餘定理的部落格

inline long long mul(long long a,long long b,long long mod)
{
    long long res=0;
    while(b>0)
    {
        if(b&1) res=(res+a)%mod;
        a=(a+a)%mod;
        b>>=1;
    }
    return res;
}
long long exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y)
{
    if(!b)
    {x=1;y=0;return a;}
    long long gcd=exgcd(b,a%b,x,y);
    k1=x;x=y;
    y=k1-a/b*y;
    return gcd;
}
int main()
{
    io::begin();
    io::read(n);
    for(register int i=1;i<=n;i++)
    io::read(b1[i]),io::read(a1[i]);
    long long x,y,k;
    long long m=b1[1],ans=a1[1];
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        long long a=m,b=b1[i],c=(a1[i]-ans%b+b)%b;
        long long gcd=exgcd(a,b,x,y);
        long long p=b/gcd;
        x=mul(x,c/gcd,p);
        ans+=x*m;
        m*=p;
        ans=(ans%m+m)%m;
    }
    printf("%lld",(ans%m+m)%m);
}

2.擴歐求逆元

這是一種很重要的演算法，至於逆元怎麼跟擴歐扯上關係，大家可以點這裡乘法逆元及兩道模板題詳解

這裡就不多贅述了，大家可以用擴歐a一下P3811，P2613。

我要講的講完了，如果覺得講的還好，請關注我的blog，謝謝