22.3 深度優先搜尋：

1. 問有向圖和無向圖可能存在的三種顏色的點到點之間的邊。

這個問題比較簡單，直接上傳原版答案，但是要注意，有向圖中存在黑色點到其他點的邊，雖然黑色點是已經搜尋結束的，但是這樣的邊始終存在。

有向圖：

無向圖：

2. 答案如下：

注意其中數字沒有重複的，無論如何time值都會+1。

3. 給出括號結構，題目中要求的是22-4即下圖：

因此括號結構應該為（（（（））））（（）），作者認為參考答案解釋有所不妥。

4. 與22.2中證明一位儲存顏色類似。

5. 根據括號化定理可輕鬆證明，略。

6. 證明：在無向圖中，根據深度優先搜尋是先探索（u，v）還是先探索（v，u）來將邊（u，v）分為樹邊或者後向邊，與根據分類列表中的四種類型的次序進行分類是等價的。

證明：首先分類列表中的四種類型，樹邊、前向邊、後向邊、橫向邊，在無向圖中只有樹邊和後向邊。如果u、v之間的這條邊，若從u→v方向進行搜尋，若先發現的u，則是一條樹邊，然後v也被發現；若先發現的v，則u是v的祖先結點，因此這是一條後向邊。和分類一致，得證！

7. 用Stack來實現深度優先搜尋：

DFS(G){
for each vertex u belong G.V
    u.color = WHITE
    u.pai = NIL
    time = 0;
for each vertex u belong G.V
    if u.color ==WHITE
        DFS_VISIT(G,u)
}
DFS_VISIT(G,u){
    time = time + 1
    u.color = GRAY
    u.d = time
    while stack != empty
        v = stack.pop()
        time = time +1
        v.d = time
        v.color = GRAY
        for each vertex w adjacent to v
            if w.color == WHITE
                stack.push(w)
            time = time +1
            v.f =     time
        time = time +1
        u.f = time 
}
 

用一個棧來代替迴圈，與網路大部分虛擬碼不同的是，該處加入了time來標記u.d和u.f。（該部分虛擬碼迴圈和條件的判斷格式與演算法導論書一致）

8. “有向圖G包含一條從結點u到結點v的路徑，並且在深度優先搜尋中u.d<v.d，則結點v是結點u在深度優先森林中的一個後代。”為這句話找出一個反例。

如圖左中右三點，從中間點開始深度優先搜尋，先找到左邊的點，再找到右邊的點，深度優先森林中右邊的點不是左邊點的後代，雖然在圖中存在一條從左邊的點到右邊的點的路徑。

9. “如果有向圖G包含一條從結點u到結點v的路徑，則任何對圖G的深度優先搜尋都將導致v.d<=u.f。”為這句話舉出一個反例。

仍運用此圖，如果深度優先搜尋從中間點開始，先搜尋右邊點再搜尋左邊點，將會出現右邊點的

10. 修改深度優先搜尋的虛擬碼，讓其打印出有向圖G的每條邊及其分類。

深度優先森林有樹邊，後向邊，前向邊，橫向邊

（修改為粗體）

DFS(G)

    for each vertex u belong to G.V

        u.color = WHITE

        u.pi = NIL

    time = 0

    for each vertex u belong to G.V

        if u.color == WHITE

            DFS-VISIT (G,u)

DFS-VISIT(G,u)

    time = time + 1

    u.d = time

    u.color = GRAY

    for each v belong to G:Adj[u]

        if v.color == WHITE    

        輸出(u,v)為樹邊

              v.pi = u

              DFS-VISIT(G,v)

        if v.color == GRAY

        輸出(u,v)為後向邊

        if v.color == BLACK  && v.f > u.d

        輸出(u,v)為前向邊

        if v.color == BLACK  && v.f < u.d

        輸出(u,v)為橫向邊

        u.color = BLACK

        time = time + 1

        u.f = time

如修改，在遍歷到一個邊的時候對v的color屬性和f屬性進行判斷，將不同的邊進行輸出。如果是無向圖，與有向圖相比，無向圖四種邊沒有什麼區別，因此不需要進行調整。

11. 有向圖的一個結點u怎樣才能成為深度優先樹中的唯一結點，即使結點u同時有入邊和出邊.

a) 首先結點u是一個自迴圈且只有自迴圈的結點。

b) 當一個點u出邊指向的點已經被搜尋結束屬於其他深度優先樹，並且接下來搜尋點u，那麼將會出現u是深度優先樹中的唯一結點。

12. 證明略，內容在22.5強連通分支有詳細講解。

修改程式碼標記深度優先樹，算導中DFS演算法中，從圖中找到一個新的結點的時候標記為x，然後在DFS-VISIT中將遍歷到的每個white結點也標記為x。再回到DFS再找到一個新節點的時候標記為x+1，迴圈以上操作。

13. 判斷圖是不是單連通圖。

首先進行拓撲排序。然後為每個結點維護一個連結串列，儲存入度為0的祖先結點。

然後為每個點計算這些表根據拓撲排序從小到大的順序。然後如果我們有一結點，它的兩個以上的前驅結點的連結串列中包含同一個入度為0的祖先結點，我們可以知道，這不是單連通圖了。相反，如果我們發現每個結點的前驅包含不相同的入度為0的結點，我們就可以判斷這個圖是一個單連通圖。