題目

找出字串中最長迴文子序列，可以在原字串中不連續。
如“character”的最長迴文子序列為“carac”。

分析1

設字串s從第i個字元到第j個字元的最長迴文子序列長度為p[i,j]，則遞迴式為

基本情況是i=j，即單個字元自身即為長度為1的迴文序列；
當i≠j時，si=sj表示找到了可能在最長迴文子序列中的字元，則最長迴文子序列剩下的部分取決於除去這個字元後的序列。
當i≠j時，si≠sj表示當前的兩個字元si和sj不能同時存在於最長迴文子序列中，則最長迴文子序列取決於在s

程式碼1

import java.util.ArrayList;
import java.util.List;

public class Main {
    static void palindrome(String[] s, int[][] p, String[][] so) {
        int n = s.length;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            p[i][i] = 1;
        }
        for (int
 
 l = 2; l <= n; l++) {
            for (int i = 0; i < n - l + 1; i++) {
                int j = i + l - 1;
                if (!s[i].equals(s[j])) {
                    if (p[i][j - 1] > p[i + 1][j]) {
                        p[i][j] = p[i][j - 1];
                        so[i][j] = "left";
                    } else
 
 {
                        p[i][j] = p[i + 1][j];
                        so[i][j] = "down";
                    }
                } else {
                    p[i][j] = p[i + 1][j - 1] + 2;
                    so[i][j] = "leftdown";
                }
            }
        }
    }

    static void solution(String[] s, String[][] so, int i, int j, List<String> result) {
        if (i >= s.length || j <= 0) return;
        if (i == j) {
            result.add(result.size() / 2, s[i]);
            return;
        }
        if ("leftdown".equals(so[i][j])) {
            solution(s, so, i + 1, j - 1, result);
            result.add(0, s[i]);
            result.add(result.size(), s[i]);
        } else if ("left".equals(so[i][j])) {
            solution(s, so, i, j - 1, result);
        } else {
            solution(s, so, i + 1, j, result);
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        String str = "character";
        String[] s = str.split("");
        int n = s.length;
        int[][] p = new int[n][n];
        String[][] so = new String[n][n];
        palindrome(s, p, so);
        System.out.println(p[0][n - 1]);

        List<String> result = new ArrayList<>();
        solution(s, so, 0, n - 1, result);
        System.out.println(result);
    }
}

分析2

一個字串的最長迴文子序列就是這個字串和其逆序串的最長公共子序列，這樣就可以將問題轉化。設字串X的i字首和字串Y的j字首的最長公共子序列長度為p[i,j]，則遞迴式為

程式碼2

import java.util.ArrayList;
import java.util.List;

public class Main {
    static void LCS(String[] X, String[] Y, int[][] p, String[][] so) {
        int nX = X.length;
        int nY = Y.length;
        for (int i = 0; i < nX + 1; i++) {
            p[i][0] = 0;
        }
        for (int i = 0; i < nY + 1; i++) {
            p[0][i] = 0;
        }
        for (int i = 1; i <= nX; i++) {
            for (int j = 1; j <= nY; j++) {
                if (X[i - 1].equals(Y[j - 1])) {
                    p[i][j] = p[i - 1][j - 1] + 1;
                    so[i][j] = "leftup";
                } else if (p[i - 1][j] >= p[i][j - 1]) {
                    p[i][j] = p[i - 1][j];
                    so[i][j] = "up";
                } else {
                    p[i][j] = p[i][j - 1];
                    so[i][j] = "left";
                }
            }
        }
    }

    static void solution(String[] X, String[][] so, int i, int j, List<String> result) {
        if (i == 0 || j == 0) {
            return;
        }
        if (so[i][j].equals("leftup")) {
            solution(X, so, i - 1, j - 1, result);
            result.add(X[i - 1]);
        } else if (so[i][j].equals("up")) {
            solution(X, so, i - 1, j, result);
        } else {
            solution(X, so, i, j - 1, result);
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        String str = "character";
        String restr = new StringBuilder(str).reverse().toString();
        String[] X = str.split("");
        String[] Y = restr.split("");
        int n = X.length;
        int[][] p = new int[n + 1][n + 1];
        String[][] so = new String[n + 1][n + 1];
        LCS(X, Y, p, so);
        System.out.println(p[n][n]);

        List<String> result = new ArrayList<>();
        solution(X, so, n, n, result);
        System.out.println(result);
    }
}