歐幾里德演算法

歐幾里德演算法又稱輾轉相除法，用於計算兩個整數a,b的最大公約數。

基本演算法：設a=qb+r，其中a，b，q，r都是整數，則gcd(a,b)=gcd(b,r)，即gcd(a,b)=gcd(b,a%b)。

第一種證明：

      a可以表示成a = kb + r，則r = a mod b

　　假設d是a,b的一個公約數，則有

　　d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r

　　因此d是(b,a mod b)的公約數

　　假設d 是(b,a mod b)的公約數，則

　　d | b , d |r ，但是a = kb +r

　　因此d也是(a,b)的公約數

　　因此(a,b)和(b,a mod b)的公約數是一樣的，其最大公約數也必然相等，得證

第二種證明：

    要證歐幾里德演算法成立，即證: gcd(a,b)=gcd(b,r),其中 gcd是取最大公約數的意思，r=a mod b
    下面證 gcd（a，b）=gcd（b，r）
    設  c是a，b的最大公約數，即c=gcd（a，b），則有 a=mc，b=nc，其中m，n為正整數，且m，n互為質數
    由 r= a mod b可知，r= a- qb 其中，q是正整數，
    則 r=a-qb=mc-qnc=（m-qn）c
    b=nc,r=(m-qn)c，且n，（m-qn）互質（假設n，m-qn不互質，則n=xd, m-qn=yd 其中x,y,d都是正整數，且d>1

演算法的實現：

最簡單的方法就是應用遞迴演算法，程式碼如下：

程式碼可優化如下：

當然你也可以用迭代形式：

擴充套件歐幾里德演算法

基本演算法：對於不完全為 0 的非負整數 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公約數，必然存在整數對 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。

證明：設 a>b。

　　1，顯然當 b=0，gcd（a，b）=a。此時 x=1，y=0；

　　2，ab!=0 時

　　設 ax1+by1=gcd(a,b);

　　bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);

　　根據樸素的歐幾里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);

　　則:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;

　　即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;

　　根據恆等定理得：x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;

     這樣我們就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基於 x2，y2.

　  上面的思想是以遞迴定義的，因為 gcd 不斷的遞迴求解一定會有個時候 b=0，所以遞迴可以結束。

擴充套件歐幾里德的遞迴程式碼：

 擴充套件歐幾里德非遞迴程式碼：

擴充套件歐幾里德演算法的應用主要有以下三方面：

（1）求解不定方程；

（2）求解模線性方程（線性同餘方程）；

（3）求解模的逆元；

（1）使用擴充套件歐幾里德演算法解決不定方程的辦法：

  對於不定整數方程pa+qb=c，若 c mod Gcd(p, q)=0,則該方程存在整數解，否則不存在整數解。
  上面已經列出找一個整數解的方法，在找到p * a+q * b = Gcd(p, q)的一組解p0,q0後，p * a+q * b = Gcd(p, q)的其他整數解滿足：
  p = p0 + b/Gcd(p, q) * t 
  q = q0 - a/Gcd(p, q) * t(其中t為任意整數)
  至於pa+qb=c的整數解，只需將p * a+q * b = Gcd(p, q)的每個解乘上 c/Gcd(p, q) 即可。

  在找到p * a+q * b = Gcd(a, b)的一組解p0,q0後，應該是得到p * a+q * b = c的一組解p1 = p0*(c/Gcd(a,b)),q1 = q0*(c/Gcd(a,b))，

  p * a+q * b = c的其他整數解滿足：

(2)用擴充套件歐幾里德演算法求解模線性方程的方法：

    同餘方程 ax≡b (mod n)對於未知數 x 有解，當且僅當 gcd(a,n) | b。且方程有解時，方程有 gcd(a,n) 個解。

    求解方程 ax≡b (mod n) 相當於求解方程 ax+ ny= b, (x, y為整數)

    設 d= gcd(a,n)，假如整數 x 和 y，滿足 d= ax+ ny(用擴充套件歐幾里德得出)。如果 d| b，則方程

    a* x0+ n* y0= d， 方程兩邊乘以 b/ d，(因為 d|b，所以能夠整除)，得到 a* x0* b/ d+ n* y0* b/ d= b。
    所以 x= x0* b/ d，y= y0* b/ d 為 ax+ ny= b 的一個解，所以 x= x0* b/ d 為 ax= b (mod n ) 的解。

    ax≡b (mod n)的一個解為 x0= x* (b/ d ) mod n，且方程的 d 個解分別為 xi= (x0+ i* (n/ d ))mod n {i= 0... d-1}。

    設ans=x*(b/d),s=n/d;

    方程ax≡b (mod n)的最小整數解為：(ans%s+s)%s;

    相關證明：

    證明方程有一解是: x0 = x'(b/d) mod n;
    由 a*x0 = a*x'(b/d) (mod n)
         a*x0 = d (b/d) (mod n)   (由於 ax' = d (mod n))
                 = b (mod n)

    證明方程有d個解: xi = x0 + i*(n/d)  (mod n);
    由 a*xi (mod n) = a * (x0 + i*(n/d)) (mod n)
                             = (a*x0+a*i*(n/d)) (mod n)
                             = a * x0 (mod n)             (由於 d | a)
                             = b

首先看一個簡單的例子：

5x=4(mod3)

解得x = 2,5,8,11,14.......

由此可以發現一個規律，就是解的間隔是3.

那麼這個解的間隔是怎麼決定的呢？

如果可以設法找到第一個解，並且求出解之間的間隔，那麼就可以求出模的線性方程的解集了.

我們設解之間的間隔為dx.

那麼有

a*x = b(mod n);

a*(x+dx) = b(mod n);

兩式相減，得到:

a*dx(mod n)= 0;

也就是說a*dx就是a的倍數，同時也是n的倍數，即a*dx是a 和 n的公倍數.為了求出dx,我們應該求出a 和 n的最小公倍數,此時對應的dx是最小的.

設a 和 n的最大公約數為d,那麼a 和 n 的最小公倍數為(a*n)/d.

即a*dx = a*n/d;

所以dx = n/d.

因此解之間的間隔就求出來了.

    程式碼如下：

（3）用歐幾里德演算法求模的逆元：

       同餘方程ax≡b (mod n)，如果 gcd(a,n)== 1，則方程只有唯一解。

      在這種情況下，如果 b== 1，同餘方程就是 ax=1 (mod n ),gcd(a,n)= 1。

      這時稱求出的 x 為 a 的對模 n 乘法的逆元。

      對於同餘方程 ax= 1(mod n )， gcd(a,n)= 1 的求解就是求解方程

      ax+ ny= 1，x, y 為整數。這個可用擴充套件歐幾里德演算法求出，原同餘方程的唯一解就是用擴充套件歐幾里德演算法得出的 x 。