什麼是熵(Entropy)

簡單來說，熵是表示物質系統狀態的一種度量，用它老表徵系統的無序程度。熵越大，系統越無序，意味著系統結構和運動的不確定和無規則；反之，，熵越小，系統越有序，意味著具有確定和有規則的運動狀態。熵的中文意思是熱量被溫度除的商。負熵是物質系統有序化，組織化，複雜化狀態的一種度量。

熵最早來原於物理學. 德國物理學家魯道夫·克勞修斯首次提出熵的概念，用來表示任何一種能量在空間中分佈的均勻程度，能量分佈得越均勻，熵就越大。

1. 一滴墨水滴在清水中，部成了一杯淡藍色溶液
2. 熱水晾在空氣中，熱量會傳到空氣中，最後使得溫度一致

更多的一些生活中的例子:

1. 熵力的一個例子是耳機線，我們將耳機線整理好放進口袋，下次再拿出來已經亂了。讓耳機線亂掉的看不見的“力”就是熵力，耳機線喜歡變成更混亂。
2. 熵力另一個具體的例子是彈性力。一根彈簧的力，就是熵力。 胡克定律其實也是一種熵力的表現。
3. 萬有引力也是熵力的一種(熱烈討論的話題)。
4. 渾水澄清[1]

於是從微觀看，熵就表現了這個系統所處狀態的不確定性程度。夏農，描述一個資訊系統的時候就借用了熵的概念，這裡熵表示的是這個資訊系統的平均資訊量(平均不確定程度)。

最大熵模型

我們在投資時常常講不要把所有的雞蛋放在一個籃子裡，這樣可以降低風險。在資訊處理中，這個原理同樣適用。在數學上，這個原理稱為最大熵原理(the maximum entropy principle)。

讓我們看一個拼音轉漢字的簡單的例子。假如輸入的拼音是”wang-xiao-bo”，利用語言模型，根據有限的上下文(比如前兩個詞)，我們能給出兩個最常見的名字“王小波”和“王曉波 ”。至於要唯一確定是哪個名字就難了，即使利用較長的上下文也做不到。當然，我們知道如果通篇文章是介紹文學的，作家王小波的可能性就較大；而在討論兩岸關係時，臺灣學者王曉波的可能性會較大。在上面的例子中，我們只需要綜合兩類不同的資訊，即主題資訊和上下文資訊。雖然有不少湊合的辦法，比如：分成成千上萬種的不同的主題單獨處理，或者對每種資訊的作用加權平均等等，但都不能準確而圓滿地解決問題，這樣好比以前我們談到的行星運動模型中的小圓套大圓打補丁的方法。在很多應用中，我們需要綜合幾十甚至上百種不同的資訊，這種小圓套大圓的方法顯然行不通。

數學上最漂亮的辦法是最大熵(maximum entropy)模型，它相當於行星運動的橢圓模型。“最大熵”這個名詞聽起來很深奧，但是它的原理很簡單，我們每天都在用。說白了，就是要保留全部的不確定性，將風險降到最小。

回到我們剛才談到的拼音轉漢字的例子，我們已知兩種資訊，第一，根據語言模型，wangxiao-bo可以被轉換成王曉波和王小波；第二，根據主題，王小波是作家，《黃金時代》的作者等等，而王曉波是臺灣研究兩岸關係的學者。因此，我們就可以建立一個最大熵模型，同時滿足這兩種資訊。現在的問題是，這樣一個模型是否存在。匈牙利著名數學家、資訊理論最高獎夏農獎得主希薩（Csiszar）證明，對任何一組不自相矛盾的資訊，這個最大熵模型不僅存在，而且是唯一的。而且它們都有同一個非常簡單的形式 – 指數函式。下面公式是根據上下文（前兩個詞）和主題預測下一個詞的最大熵模型，其中 w3 是要預測的詞（王曉波或者王小波）w1 和 w2 是它的前兩個字（比如說它們分別是“出版”，和“”），也就是其上下文的一個大致估計，subject 表示主題。

我們看到，在上面的公式中，有幾個引數 lambda 和 Z ，他們需要通過觀測資料訓練出來。最大熵模型在形式上是最漂亮的統計模型，而在實現上是最複雜的模型之一。

我們上次談到用最大熵模型可以將各種資訊綜合在一起。我們留下一個問題沒有回答，就是如何構造最大熵模型。我們已經所有的最大熵模型都是指數函式的形式，現在只需要確定指數函式的引數就可以了，這個過程稱為模型的訓練。

最原始的最大熵模型的訓練方法是一種稱為通用迭代演算法 GIS(generalized iterative scaling) 的迭代 演算法。GIS 的原理並不複雜，大致可以概括為以下幾個步驟：
1. 假定第零次迭代的初始模型為等概率的均勻分佈。
2. 用第 N 次迭代的模型來估算每種資訊特徵在訓練資料中的分佈，如果超過了實際的，就把相應的模型引數變小；否則，將它們便大。
3. 重複步驟 2 直到收斂。

GIS 最早是由 Darroch 和 Ratcliff 在七十年代提出的。但是，這兩人沒有能對這種演算法的物理含義進行很好地解釋。後來是由數學家希薩（Csiszar)解釋清楚的，因此，人們在談到這個演算法時，總是同時引用 Darroch 和Ratcliff 以及希薩的兩篇論文。GIS 演算法每次迭代的時間都很長，需要迭代很多次才能收斂，而且不太穩定，即使在 64 位計算機上都會出現溢位。因此，在實際應用中很少有人真正使用 GIS。大家只是通過它來了解最大熵模型的演算法。

八十年代，很有天才的孿生兄弟的達拉皮垂(Della Pietra)在 IBM 對 GIS 演算法進行了兩方面的改進，提出了改進迭代演算法 IIS（improved iterative scaling）。這使得最大熵模型的訓練時間縮短了一到兩個數量級。這樣最大熵模型才有可能變得實用。即使如此，在當時也只有 IBM 有條件是用最大熵模型。

由於最大熵模型在數學上十分完美，對科學家們有很大的誘惑力，因此不少研究者試圖把自己的問題用一個類似最大熵的近似模型去套。誰知這一近似，最大熵模型就變得不完美了，結果可想而知，比打補丁的湊合的方法也好不了多少。於是，不少熱心人又放棄了這種方法。第一個在實際資訊處理應用中驗證了最大熵模型的優勢的，是賓夕法尼亞大學馬庫斯的另一個高徒原 IBM 現微軟的研究員拉納帕提(Adwait Ratnaparkhi)。拉納帕提的聰明之處在於他沒有對最大熵模型進行近似，而是找到了幾個最適合用最大熵模型、而計算量相對不太大的自然語言處理問題，比如詞性標註和句法分析。拉納帕提成功地將上下文資訊、詞性（名詞、動詞和形容詞等）、句子成分（主謂賓）通過最大熵模型結合起來，做出了當時世界上最好的詞性標識系統和句法分析器。拉納帕提的論文發表後讓人們耳目一新。拉納帕提的詞性標註系統，至今仍然是使用單一方法最好的系統。科學家們從拉納帕提的成就中，又看到了用最大熵模型解決複雜的文字資訊處理的希望。

但是，最大熵模型的計算量仍然是個攔路虎。我在學校時花了很長時間考慮如何簡化最大熵模型的計算量。終於有一天，我對我的導師說，我發現一種數學變換，可以將大部分最大熵模型的訓練時間在 IIS 的基礎上減少兩個數量級。我在黑板上推導了一個多小時，他沒有找出我的推導中的任何破綻，接著他又回去想了兩天，然後告訴我我的演算法是對的。從此，我們就建造了一些很大的最大熵模型。這些模型比修修補補的湊合的方法好不少。即使在我找到了快速訓練演算法以後，為了訓練一個包含上下文資訊，主題資訊和語法資訊的文法模型(language model)，我並行使用了20 臺當時最快的 SUN 工作站，仍然計算了三個月。由此可見最大熵模型的複雜的一面。

最大熵模型，可以說是集簡與繁於一體，形式簡單，實現複雜。值得一提的是，在Google的很多產品中，比如機器翻譯，都直接或間接地用到了最大熵模型。

講到這裡，讀者也許會問，當年最早改進最大熵模型演算法的達拉皮垂兄弟這些年難道沒有做任何事嗎？他們在九十年代初賈里尼克離開 IBM 後，也退出了學術界，而到在金融界大顯身手。他們兩人和很多 IBM 語音識別的同事一同到了一家當時還不大，但現在是世界上最成功對衝基金(hedge fund)公司—-文藝復興技術公司 (Renaissance Technologies)。我們知道，決定股票漲落的因素可能有幾十甚至上百種，而最大熵方法恰恰能找到一個同時滿足成千上萬種不同條件的模型。達拉皮垂兄弟等科學家在那裡，用於最大熵模型和其他一些先進的數學工具對股票預測，獲得了巨大的成功。從該基金 1988 年創立至今，它的淨回報率高達平均每年 34%。也就是說，如果 1988 年你在該基金投入一塊錢，今天你能得到 200 塊錢。這個業績，遠遠超過股神巴菲特的旗艦公司伯克夏哈撒韋（Berkshire Hathaway)。同期，伯克夏哈撒韋的總回報是 16 倍。

值得一提的是，資訊處理的很多數學手段，包括隱含馬爾可夫模型、子波變換、貝葉斯網路等等，在華爾街多有直接的應用。由此可見，數學模型的作用。

HMM（隱馬爾可夫模型）

隱馬爾可夫模型（Hidden Markov Model，HMM）是統計模型，它用來描述一個含有隱含未知引數的馬爾可夫過程。其難點是從可觀察的引數中確定該過程的隱含引數。然後利用這些引數來作進一步的分析，例如模式識別。

是在被建模的系統被認為是一個馬爾可夫過程與未觀測到的（隱藏的）的狀態的統計馬爾可夫模型。

下面用一個簡單的例子來闡述：

假設我手裡有三個不同的骰子。第一個骰子是我們平常見的骰子（稱這個骰子為D6），6個面，每個面（1，2，3，4，5，6）出現的概率是1/6。第二個骰子是個四面體（稱這個骰子為D4），每個面（1，2，3，4）出現的概率是1/4。第三個骰子有八個面（稱這個骰子為D8），每個面（1，2，3，4，5，6，7，8）出現的概率是1/8。

假設我們開始擲骰子，我們先從三個骰子裡挑一個，挑到每一個骰子的概率都是1/3。然後我們擲骰子，得到一個數字，1，2，3，4，5，6，7，8中的一個。不停的重複上述過程，我們會得到一串數字，每個數字都是1，2，3，4，5，6，7，8中的一個。例如我們可能得到這麼一串數字（擲骰子10次）：1 6 3 5 2 7 3 5 2 4

這串數字叫做可見狀態鏈。但是在隱馬爾可夫模型中，我們不僅僅有這麼一串可見狀態鏈，還有一串隱含狀態鏈。在這個例子裡，這串隱含狀態鏈就是你用的骰子的序列。比如，隱含狀態鏈有可能是：D6 D8 D8 D6 D4 D8 D6 D6 D4 D8

一般來說，HMM中說到的馬爾可夫鏈其實是指隱含狀態鏈，因為隱含狀態（骰子）之間存在轉換概率（transition probability）。在我們這個例子裡，D6的下一個狀態是D4，D6，D8的概率都是1/3。D4，D8的下一個狀態是D4，D6，D8的轉換概率也都一樣是1/3。這樣設定是為了最開始容易說清楚，但是我們其實是可以隨意設定轉換概率的。比如，我們可以這樣定義，D6後面不能接D4，D6後面是D6的概率是0.9，是D8的概率是0.1。這樣就是一個新的HMM。

同樣的，儘管可見狀態之間沒有轉換概率，但是隱含狀態和可見狀態之間有一個概率叫做輸出概率（emission probability）。就我們的例子來說，六面骰（D6）產生1的輸出概率是1/6。產生2，3，4，5，6的概率也都是1/6。我們同樣可以對輸出概率進行其他定義。比如，我有一個被賭場動過手腳的六面骰子，擲出來是1的概率更大，是1/2，擲出來是2，3，4，5，6的概率是1/10。

其實對於HMM來說，如果提前知道所有隱含狀態之間的轉換概率和所有隱含狀態到所有可見狀態之間的輸出概率，做模擬是相當容易的。但是應用HMM模型時候呢，往往是缺失了一部分資訊的，有時候你知道骰子有幾種，每種骰子是什麼，但是不知道擲出來的骰子序列；有時候你只是看到了很多次擲骰子的結果，剩下的什麼都不知道。如果應用演算法去估計這些缺失的資訊，就成了一個很重要的問題。這些演算法我會在下面詳細講。

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      如果你只想看一個簡單易懂的例子，就不需要往下看了。
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說兩句廢話，答主認為呢，要了解一個演算法，要做到以下兩點：會其意，知其形。答主回答的，其實主要是第一點。但是這一點呢，恰恰是最重要，而且很多書上不會講的。正如你在追一個姑娘，姑娘對你說“你什麼都沒做錯！”你要是隻看姑娘的表達形式呢，認為自己什麼都沒做錯，顯然就理解錯了。你要理會姑娘的意思，“你趕緊給我道歉！”這樣當你看到對應的表達形式呢，趕緊認錯，跪地求饒就對了。數學也是一樣，你要是不理解意思，光看公式，往往一頭霧水。不過呢，數學的表達頂多也就是晦澀了點，姑娘的表達呢，有的時候就完全和本意相反。所以答主一直認為理解姑娘比理解數學難多了。

回到正題，和HMM模型相關的演算法主要分為三類，分別解決三種問題：
      1）知道骰子有幾種（隱含狀態數量），每種骰子是什麼（轉換概率），根據擲骰子擲出的結果（可見狀態鏈），我想知道每次擲出來的都是哪種骰子（隱含狀態鏈）。
      這個問題呢，在語音識別領域呢，叫做解碼問題。這個問題其實有兩種解法，會給出兩個不同的答案。每個答案都對，只不過這些答案的意義不一樣。第一種解法求最大似然狀態路徑，說通俗點呢，就是我求一串骰子序列，這串骰子序列產生觀測結果的概率最大。第二種解法呢，就不是求一組骰子序列了，而是求每次擲出的骰子分別是某種骰子的概率。比如說我看到結果後，我可以求得第一次擲骰子是D4的概率是0.5，D6的概率是0.3，D8的概率是0.2.第一種解法我會在下面說到，但是第二種解法我就不寫在這裡了，如果大家有興趣，我們另開一個問題繼續寫吧。

2）還是知道骰子有幾種（隱含狀態數量），每種骰子是什麼（轉換概率），根據擲骰子擲出的結果（可見狀態鏈），我想知道擲出這個結果的概率。
      看似這個問題意義不大，因為你擲出來的結果很多時候都對應了一個比較大的概率。問這個問題的目的呢，其實是檢測觀察到的結果和已知的模型是否吻合。如果很多次結果都對應了比較小的概率，那麼就說明我們已知的模型很有可能是錯的，有人偷偷把我們的骰子給換了。

3）知道骰子有幾種（隱含狀態數量），不知道每種骰子是什麼（轉換概率），觀測到很多次擲骰子的結果（可見狀態鏈），我想反推出每種骰子是什麼（轉換概率）。
      這個問題很重要，因為這是最常見的情況。很多時候我們只有可見結果，不知道HMM模型裡的引數，我們需要從可見結果估計出這些引數，這是建模的一個必要步驟。

問題闡述完了，下面就開始說解法。（0號問題在上面沒有提，只是作為解決上述問題的一個輔助）
      0.一個簡單問題
其實這個問題實用價值不高。由於對下面較難的問題有幫助，所以先在這裡提一下。
知道骰子有幾種，每種骰子是什麼，每次擲的都是什麼骰子，根據擲骰子擲出的結果，求產生這個結果的概率。

解法無非就是概率相乘：


1.看見不可見的，破解骰子序列
      這裡我說的是第一種解法，解最大似然路徑問題。
      舉例來說，我知道我有三個骰子，六面骰，四面骰，八面骰。我也知道我擲了十次的結果（1 6 3 5 2 7 3 5 2 4），我不知道每次用了那種骰子，我想知道最有可能的骰子序列。

其實最簡單而暴力的方法就是窮舉所有可能的骰子序列，然後依照第零個問題的解法把每個序列對應的概率算出來。然後我們從裡面把對應最大概率的序列挑出來就行了。如果馬爾可夫鏈不長，當然可行。如果長的話，窮舉的數量太大，就很難完成了。
      另外一種很有名的演算法叫做Viterbi algorithm. 要理解這個演算法，我們先看幾個簡單的列子。
      首先，如果我們只擲一次骰子：

看到結果為1.對應的最大概率骰子序列就是D4，因為D4產生1的概率是1/4，高於1/6和1/8.
      把這個情況拓展，我們擲兩次骰子：

結果為1，6.這時問題變得複雜起來，我們要計算三個值，分別是第二個骰子是D6，D4，D8的最大概率。顯然，要取到最大概率，第一個骰子必須為D4。這時，第二個骰子取到D6的最大概率是


      同樣的，我們可以計算第二個骰子是D4或D8時的最大概率。我們發現，第二個骰子取到D6的概率最大。而使這個概率最大時，第一個骰子為D4。所以最大概率骰子序列就是D4 D6。
繼續拓展，我們擲三次骰子：

同樣，我們計算第三個骰子分別是D6，D4，D8的最大概率。我們再次發現，要取到最大概率，第二個骰子必須為D6。這時，第三個骰子取到D4的最大概率是

      同上，我們可以計算第三個骰子是D6或D8時的最大概率。我們發現，第三個骰子取到D4的概率最大。而使這個概率最大時，第二個骰子為D6，第一個骰子為D4。所以最大概率骰子序列就是D4 D6 D4。

寫到這裡，大家應該看出點規律了。既然擲骰子一二三次可以算，擲多少次都可以以此類推。我們發現，我們要求最大概率骰子序列時要做這麼幾件事情。首先，不管序列多長，要從序列長度為1算起，算序列長度為1時取到每個骰子的最大概率。然後，逐漸增加長度，每增加一次長度，重新算一遍在這個長度下最後一個位置取到每個骰子的最大概率。因為上一個長度下的取到每個骰子的最大概率都算過了，重新計算的話其實不難。當我們算到最後一位時，就知道最後一位是哪個骰子的概率最大了。然後，我們要把對應這個最大概率的序列從後往前推出來。
2.誰動了我的骰子？
      比如說你懷疑自己的六面骰被賭場動過手腳了，有可能被換成另一種六面骰，這種六面骰擲出來是1的概率更大，是1/2，擲出來是2，3，4，5，6的概率是1/10。你怎麼辦麼？答案很簡單，算一算正常的三個骰子擲出一段序列的概率，再算一算不正常的六面骰和另外兩個正常骰子擲出這段序列的概率。如果前者比後者小，你就要小心了。
      比如說擲骰子的結果是：

要算用正常的三個骰子擲出這個結果的概率，其實就是將所有可能情況的概率進行加和計算。同樣，簡單而暴力的方法就是把窮舉所有的骰子序列，還是計算每個骰子序列對應的概率，但是這回，我們不挑最大值了，而是把所有算出來的概率相加，得到的總概率就是我們要求的結果。這個方法依然不能應用於太長的骰子序列（馬爾可夫鏈）。
      我們會應用一個和前一個問題類似的解法，只不過前一個問題關心的是概率最大值，這個問題關心的是概率之和。解決這個問題的演算法叫做前向演算法（forward algorithm）。
首先，如果我們只擲一次骰子：

看到結果為1.產生這個結果的總概率可以按照如下計算，總概率為0.18：

把這個情況拓展，我們擲兩次骰子：

看到結果為1，6.產生這個結果的總概率可以按照如下計算，總概率為0.05：

繼續拓展，我們擲三次骰子：

看到結果為1，6，3.產生這個結果的總概率可以按照如下計算，總概率為0.03：

同樣的，我們一步一步的算，有多長算多長，再長的馬爾可夫鏈總能算出來的。用同樣的方法，也可以算出不正常的六面骰和另外兩個正常骰子擲出這段序列的概率，然後我們比較一下這兩個概率大小，就能知道你的骰子是不是被人換了。

Viterbi algorithm

HMM（隱馬爾可夫模型）是用來描述隱含未知引數的統計模型，舉一個經典的例子：一個東京的朋友每天根據天氣{下雨，天晴}決定當天的活動{公園散步,購物,清理房間}中的一種，我每天只能在twitter上看到她發的推“啊，我前天公園散步、昨天購物、今天清理房間了！”，那麼我可以根據她發的推特推斷東京這三天的天氣。在這個例子裡，顯狀態是活動，隱狀態是天氣。

任何一個HMM都可以通過下列五元組來描述：

:param obs:觀測序列
:param states:隱狀態
:param start_p:初始概率（隱狀態）
:param trans_p:轉移概率（隱狀態）
:param emit_p: 發射概率 （隱狀態表現為顯狀態的概率）

偽碼如下：

states = ('Rainy', 'Sunny')

observations = ('walk', 'shop', 'clean')

start_probability = {'Rainy': 0.6, 'Sunny': 0.4}

transition_probability = {
    'Rainy' : {'Rainy': 0.7, 'Sunny': 0.3},
    'Sunny' : {'Rainy': 0.4, 'Sunny': 0.6},
    }

emission_probability = {
    'Rainy' : {'walk': 0.1, 'shop': 0.4, 'clean': 0.5},
    'Sunny' : {'walk': 0.6, 'shop': 0.3, 'clean': 0.1},
}

求解最可能的天氣

求解最可能的隱狀態序列是HMM的三個典型問題之一，通常用維特比演算法解決。維特比演算法就是求解HMM上的最短路徑（-log(prob)，也即是最大概率）的演算法。

稍微用中文講講思路，很明顯，第一天天晴還是下雨可以算出來：

1. 定義V[時間][今天天氣] = 概率，注意今天天氣指的是，前幾天的天氣都確定下來了（概率最大）今天天氣是X的概率，這裡的概率就是一個累乘的概率了。

2.     因為第一天我的朋友去散步了，所以第一天下雨的概率V[第一天][下雨] = 初始概率[下雨] * 發射概率[下雨][散步] = 0.6 * 0.1 = 0.06，同理可得V[第一天][天晴] = 0.24 。從直覺上來看，因為第一天朋友出門了，她一般喜歡在天晴的時候散步，所以第一天天晴的概率比較大，數字與直覺統一了。

3. 從第二天開始，對於每種天氣Y，都有前一天天氣是X的概率 * X轉移到Y的概率 * Y天氣下朋友進行這天這種活動的概率。因為前一天天氣X有兩種可能，所以Y的概率有兩個，選取其中較大一個作為V[第二天][天氣Y]的概率，同時將今天的天氣加入到結果序列中

4. 比較V[最後一天][下雨]和[最後一天][天晴]的概率，找出較大的哪一個對應的序列，就是最終結果。

演算法的程式碼可以在github上看到，地址為：

執行完成後根據Viterbi得到結果：

Sunny Rainy Rainy

Viterbi被廣泛應用到分詞，詞性標註等應用場景。