人工智慧通識-科普-窮舉法1
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對於圖中的拋物線 ，如何求出藍色部分面積？
幾何級數Geometric series
幾何級數就是指以固定比例持續增加的一組數字，類似 ，後一項總是前一項乘以
，所以這樣的數列就叫做幾何級數,比如
。
怎麼求和？
利用補項相減法計算過程如下：
就趨近於1，就得到：
比如：
三角形的面積
我們都知道三角形的面積是底乘以高除以2，但換一種看法，在下圖中，黃色三角形被中間的豎線NRQP分成左右兩個小三角形，大黃色三角形面積就可以表示為左側三角形MNQ和右側三角形NQK面積之和。
即：
也就是說，黃色三角形面積等於中間豎線與三角形相交的NQ乘以橫向總寬度MT的一半。
拋物線下的面積
好了，我們回到一開始的問題，藍色面積怎麼求？
如圖，先看左半部分，我們連線AC得到三角形 ，這是個直角邊為1的45度直角三角形，面積是
。
再看綠色部分 ，根據上面我們的經驗，它的面積等於
。這裡AB是1可以忽略。ED長度是多少？
是相似三角形，所以
即：
。
所以，黃色三角形面積是 ,綠色三角形面積是
。同理每個小紅三角性的面積
，兩個就是
，以此類推下去，我們把左側這些無窮細分的三角形加在一起就是：
我們把它乘以2，得到整個曲線下面的面積：
即是：
套用上面的公式 得到
，這是拋物線下整個面積，那麼右側藍色的部分就是
。
推廣應用
這個是窮舉法的經典應用，窮舉的思路就是不斷細分再細分，逐漸逼近最終形狀。
實際上這個演算法並不僅僅適用於 這個特殊情況，如上圖所示，對於任何拋物線和相交直線所包圍的面積，都等於兩個交點、交點中點豎線線與拋物線的交點所組成的三角形面積的
倍。
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