RSA 數學原理
提起 RSA 大家一定不陌生，在開發中經常使用，也經常聽同事說道。
前奏
對稱加密
話說很久以前，人們就懂的了加密這個技術。在戰爭時期，間諜就會拿著 密文 和 密匙 來對資訊就行傳遞。 這種簡單的 密文 + 密匙（key） 就是 對稱加密
加密: 明文 + 密匙
解密: 密文 + 密匙
非對稱加密
由於這種加密方式過於簡單，所以後來引入了數學演算法。 RSA 就是由特殊的數學演算法構成的，也是 非對稱加密演算法 。非對稱加密需要兩個金鑰： 公鑰（public key） + 私鑰（private key）
用公鑰加密，私鑰解密
私鑰加密，公鑰解密
相關數學原理
尤拉定理
如果兩個正整數m和n互質，那麼m的φ(n)次方減去1，可以被n整除。
一下是幾種情況
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定理0 算術函式f如果滿足對於任意兩個互質的正整數m和n，均有f(mn)=f(m)f(n)，就稱f為積性函式（或乘性函式）。 如果對於任意兩個正整數m和n，均有f(mn)=f(m)f(n)，就稱為完全積性函式。
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定理1 對於素數p，ϕ(p)=p−1。
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定理2 ϕ(pn)=pn−pn−1，因為素數冪pn不互質的只有p的倍數，一共有pn/p=pn−1個。
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定理3 若m、n互質，ϕ(mn)=ϕ(m)ϕ(n)，所以尤拉函式是積性函式。 因為mn互質NN，和m互質的數乘上和n互質的數就會和mn互質。
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定理4 設n=p1a1p2a2...pkak為正整數n的素數冪分解，那麼ϕ(n)=n(1−1/p1)(1−1/p2)...(1−1/pk)。 由定理2，ϕ(pn)=pn−pn−1=pn (1-1/p)，又由定理3，ϕ(n)=p1a1p2a2...pkak(1−1/p1)(1−1/p2)...(1−1/pk)=n(1−1/p1)(1−1/p2)...(1−1/pk)
例如： ϕ(8) = ϕ(2^3) = 2^3 - 2^(2-1) = 8 - 4 = 4 ϕ(15) = ϕ(3) * ϕ(5) = 2 * 4 = 8 複製程式碼
費馬小定律
尤拉定理的特殊情況：如果兩個正整數m和n互質，而且n為質數！那麼φ(n)結果就是n-1。
模反元素
如果兩個正整數e和x互質，那麼一定可以找到整數d，使得 ed-1 被x整除。 那麼d就是e對於x的“模反元素”
迪菲赫爾曼密匙交換原理
那麼，通過一系列的數學轉換，最終得出了RSA演算法
公鑰：e 和 n 私鑰：d 和 n 明文：m 密文：c 複製程式碼