CCF-CSP 遊戲

摘要： CCF-CSP 201712-2 遊戲 題解 問題描述 試題編號：201712-2 試題名稱：遊戲 時間限制：1.0s 記憶體限制：256.0MB 問題描述 有n個小朋友圍成一圈玩遊戲，小朋友從1至n編號，2號小朋友坐在1號小朋友的順時針方向，3號小朋友坐在2號小朋友的順...

CCF-CSP 201712-2 遊戲 題解

問題描述

試題編號：201712-2
試題名稱：遊戲
時間限制：1.0s
記憶體限制：256.0MB

問題描述
有n個小朋友圍成一圈玩遊戲，小朋友從1至n編號，2號小朋友坐在1號小朋友的順時針方向，3號小朋友坐在2號小朋友的順時針方向，……，1號小朋友坐在n號小朋友的順時針方向。
遊戲開始，從1號小朋友開始順時針報數，接下來每個小朋友的報數是上一個小朋友報的數加1。若一個小朋友報的數為k的倍數或其末位數（即數的個位）為k，則該小朋友被淘汰出局，不再參加以後的報數。當遊戲中只剩下一個小朋友時，該小朋友獲勝。
例如，當n=5, k=2時：
1號小朋友報數1；
2號小朋友報數2淘汰；
3號小朋友報數3；
4號小朋友報數4淘汰；
5號小朋友報數5；
1號小朋友報數6淘汰；
3號小朋友報數7；
5號小朋友報數8淘汰；
3號小朋友獲勝。

給定n和k，請問最後獲勝的小朋友編號為多少？

輸入格式
輸入一行，包括兩個整數n和k，意義如題目所述。

輸出格式
輸出一行，包含一個整數，表示獲勝的小朋友編號。

樣例輸入
5 2

樣例輸出
3

樣例輸入
7 3

樣例輸出
4

資料規模和約定
對於所有評測用例，1 ≤ n ≤ 1000，1 ≤ k ≤ 9。

題解1

最容易想到的方法應該是用陣列來標記是否已經出局。首先，初始化編號陣列，然後開始報數，每次都檢查是否已經出局，若已經出局則直接跳過，否則檢查報數是否為k的倍數或其末位數（即數的個位）為k，如果是，則將該陣列元素置為0，即標記為出局。一直報數，直到陣列中非 0 元素只有1個才停止，最後輸出這個非 0 元素的索引即為獲勝小朋友的編號。

n, k = map(int, input().split())# 讀取輸入n, k
lst = list(range(1, n + 1))# 編號列表

count = 0# 報數計數
if k != 1:
while lst.count(0) != n - 1:# 一直報數，直到只剩下 1 個小朋友
for i in range(n):
if lst[i] == 0:# 該小朋友已出局，不再報數
continue
else:
count += 1# 報數
s = str(count)
if count % k == 0 or int(s[len(s) - 1]) == k:# 報數為k的倍數或其末位數（即數的個位）為k
lst[i] = 0# 標記為已出局

for i in range(1, n + 1):
if lst[i - 1] > 0:# 輸出未出局的小朋友
print(i)# 輸出結果
break
else:# 若 k 為1，則直接輸出最後 1 個小朋友的編號
print(n)

題解2

用佇列模擬的方式來解題。首先，列表中儲存 n 個小朋友的編號，每次取出第 1 個元素進行判斷，如果報數不為k的倍數並且其末位數（即數的個位）也不為k，則又將其加入到列表的尾部，直到編號列表中沒有元素都

n, k = map(int, input().split())# 讀取輸入n, k
lst = list(range(1, n + 1))# 編號列表
count, res = 1, 1
while lst:
res = lst[0]# 取出第1個元素
lst.remove(res)# 出佇列，不能用pop()，因為pop是從列表尾部彈出元素
if not (count % k == 0 or count % 10 == k):# 報數不為k的倍數並且其末位數（即數的個位）也不為k
lst.append(res)# 入佇列
count += 1# 報數

print(res)# 輸出結果

知識點補充

列表的增刪操作

• append 方法

>>>lst = [1, 2, 3]
>>>lst.append(4)# 在尾部增加元素
>>>lst
[1, 2, 3, 4]

• insert 方法

>>>lst.insert(2, 5)# 在指定位置插入元素
>>>lst
[1, 2, 5, 3, 4]

• extend 方法

>>>lst.extend([6, 7])# 在列表末尾一次性追加另一個序列中的多個值
>>>lst
[1, 2, 5, 3, 4, 6, 7]

• pop 方法

>>>lst.pop()# 移除列表尾部的元素
7
>>>lst
[1, 2, 5, 3, 4, 6]

• remove 方法

>>>lst.remove(5)# 移除列表中的指定元素
>>>lst
[1, 2, 3, 4, 6]

• clear 方法

>>>lst.clear()# 清空列表中的所有元素
>>>lst
[]

約瑟夫問題

約瑟夫環（約瑟夫問題）是一個數學的應用問題：已知 n 個人（以編號 1，2，3…n 分別表示）圍坐在一張圓桌周圍。從編號為 k 的人開始報數，數到m的那個人出列；他的下一個人又從1開始報數，數到m的那個人又出列；依此規律重複下去，直到圓桌周圍的人全部出列。通常解決這類問題時我們把編號從 0~n-1，最後 [1]結果+1即為原問題的解。

本題的情景與約瑟夫問題類似，因此也可以利用約瑟夫環的遞推公式來解題。約瑟夫環的標準數學（找規律）解法：

• 將 k 固定，設解ANS[n,k] = ans(n)
• 具有 m 個數的 m 約瑟夫環中，刪除一個數之後，相當於重新標號後的m-1 約瑟夫環問題。
• 設從 a(1) 開始的 m 約瑟夫環答案為ans(m) = s ，在 m+1 約瑟夫環中，由於經歷了重新標號，m 中的標號 a(i) 應該為a((k+i)%(m+1)) ，所以答案下標也要從 s 移動到(s+k)%(m+1) 。
• 公式：ans(1) = 1, ans(m+1) = (ans(m)+k)%(m+1)

只要知道公式，程式碼實現就十分簡單了，如下：

n, k = map(int, input().split())# 讀取輸入的 n 和 k
s = 0
for i in range(2, n + 1):# 公式計算
s = (s + k) % i

print(s + 1)# 輸出結果

由於題目中除了約瑟夫問題中要求的出局條件外，還要求報數的末位數（即數的個位）為k的也出局，所以上述程式碼只有部分測試樣例能夠通過，提交只能得30分。但是，約瑟夫問題確實值得了解與學習。