整數中1出現的次數(從1到n整數中1出現的次數) （兩種方法：1、規律。2暴力求解）

題目描述

求出1 ~ 13的整數中1出現的次數,並算出100 ~ 1300的整數中1出現的次數？為此他特別數了一下1 ~ 13中包含1的數字有1、10、11、12、13因此共出現6次,但是對於後面問題他就沒轍了。ACMer希望你們幫幫他,並把問題更加普遍化,可以很快的求出任意非負整數區間中1出現的次數。

規律( 1 的數目)

如果第 i 位(自右向左，從1開始標號)上的數字是0，則第 i 位可能出現 1 的次數由更高位決定(若沒有高位，則視高位為0)，等於更高位數乘以當前位數的權重(10^i-1)

如果第 i 位上的數字為 1，則第 i 位上出現 1 的次數不僅受更高位影響，還受低位影響(若沒有低位，視低位為0)，等於更高位數乘以當前位數的權重 (10^i-1

如果第 i 位上的數字大於 1，則第 i 位上可能出現 1 的次數僅由更高位決定(若沒有高位，視高位為0)，等於(更高位數 + 1)乘以當前位數的權重 (10^i-1)

規律(x 的數目)

這裏的 x 屬於[1, 9]， 因為 x = 0 不符合下列規律，需要單獨計算

首先要知道以下規律

• 從 1 至 10，在它們的個位數中，任意的 x 都出現了 1 次
• 從 1 至 100，在它們的十位數中，任意的 x 都出現了 10 次
• 從1至1000，在它們的百位數中，任意的x都出現了100次
• 依次類推，從 1 至 10ⁱ，在它們的左數第二位(右數第 i 位)，任意的 x 都出現了 (10^i-1)次。這個規律很容易驗證，這裏不再多做說明

接下以 n = 2593, x = 5 為例來解釋如何得到數學公式。從 1 至 2593中，數字 5 總計出現了 813 次，其中有 259次出現在個位，260次出現在十位，294次出現在百位，0次出現在千位

• 現在依次分析這些數據，首先是個位。從 1 至 2590 中，包含了 259 個 10，因此任意的 x 都出現了 259 次。最後剩余的三個數 2531,2592,2593，因為它們最大的個位數字 3 < x。因此不會包含任何 5. (也可以這麽看， 3 < x， 則個位上可能出現的 x 的位數由更高位決定，等於更高位數字 (259) * 10^1-1 = 259)。

• 然後是十位。從 1 至 2500中，包含了25個100，因此任意的 x 都出現了 25 * 10 = 250 次。剩下的數字從 2501 至 2593，它們最大的十位數是 9 > x，因此會包含全部 10 個 5。最後總計 250 + 10 = 260。(也可以這麽看，9 > x，則十位上可能出現的 x 的位數由更高位決定，等於更高位數字(25 + 1) * 10^2-1

  = 260)

• 接下來是百位。從1至2000中，包含了2個1000，因此任意x都出現了2 * 100 = 200次。剩下的數字從2001至2593，它們最大的百位數字5 == x，這時候情況就略微復雜，它們的百位肯定是包含5的，但是不會包含全部100個。如果把百位是5的列出來，是從2500至2593，數字的個數與十位和個位數字有關，是93 + 1 = 94。最後總計 200 + 94 = 294。(也可以這麽看， 5 == x，則百位上可能出現的x次數不僅受跟高位影響，還受低位影響，等於更高位數字 2 * 10^3-1 + (93 + 1))

• 最後是千位，現在已經沒有更高位，因此直接看最大的千位數字 2 < x，因此不會包含任何 5 。(也可以這麽看，2 < x，則千位上可能出現的x的次數僅由更高位決定，等於更高位數字 0 * 10^4-1 = 0)

到此為止，已經計算出全部數字 5 的出現次數。

總結

總結一下以上的算法，可以看到，當計算右數第 i 位包含的 x 的個數時：

• 取第 i位左邊(高位)的數字，乘以 10^i-1，得到基礎值 a

• 取第 i 位數字，計算修正值

• 如果大於 x , 則結果為 a + 10^i-1

• 如果小於 x，則結果為 a

• 如果等於 x，則取第 i 位右邊(低位)數字，設為 b，最後結果為 a + b + 1

代碼

#include <iostream>

using namespace std;
int oneNum(int n)
{
    int cur=n%10;//當前位
    int high=n/10;//相對於當前位的高位部分
    int low=0;//低位部分
    int count=0;//計數
    int base=1;//基
    while(n/base)
    {
        if(cur==0)//題目中要求找1 故小於1的只有0
        {
            count+=high*base;//高位部分乘以基（見上文的算法總結和規律）
        }
        else if(cur==1)
        {
            count+=high*base+low+1;
        }
        else{
            count+=(high+1)*base;
        }
        base*=10;
        cur=high%10;
        high=n/(base*10);
        low=n%base;
    }
    return count;
}
int main()
{
    int n;
    while(cin>>n)
    {
        cout<<oneNum(n)<<endl;
    }
    return 0;
}

由分析思路或者代碼都可以看出，while循環的次數就是n的位數,logn（以10為底），而循環體內執行的操作都是有限次的，所以時間復雜度為O(logn)。

暴力求解：

方法：對1到n中的每一個數，分別判斷其中1的個數。

復雜度：O(n*logn)

int oneNum_b(int n)
{
    assert(n>=0);
    int count=0;
    int curNum=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        curNum=i;
        while(curNum)
        {
            if(curNum%10==1)
                count++;
            curNum/=10;
        }
    }
    return count;
}

n個整數中1出現的次數