題目1：

寫一個函數，輸入n，求斐波那契（Fibonacci）數列的第n項。

斐波那契（Fibonacci）數列定義例如以下：
$$\begin{equation} f(n)=\left\{ \begin{array}{cc} 0, &n=0\ 1, &n=1\ f(n-1)+f(n-2), &n>2 \end{array} \right. \end{equation}$$

1. 遞歸解法（效率非常低）

long long Fibonacci_Solution1(unsigned int n)
{
  if(n <= 0)
     return 0;

  if(n == 1)
     return 1;

  return Fibonacci_Solution1(n - 1) + Fibonacci_Solution1(n - 2);
}

2 循環解法：改進的算法：從下往上計算。首先依據f(0)和f(1)算出f(2)。再依據f(1)和f(2)算出f(3)。。。。。依此類推就能夠算出第n項了。

非常easy理解。這樣的思路的時間復雜度是o(n)。實現代碼例如以下：

long long Fibonacci(unsigned n)
{
    int result[2] = {0 , 1};
    if(n < 2)
        return result[n];

    long long fibMinusOne = 1;
    long long fibMinusTwo = 0;
    for(unsigned int i = 2 ; i <= n ; ++i)
    {
        fibN = fibMinusOne + fibMinusTwo;

        fibMinusTwo = fibMinusOne;
        fibMinusOne = fibN;
    }

    return
 
 fibN;
}

題目2：

 一僅僅青蛙一次能夠跳上1級臺階，也能夠跳上2級。求該青蛙跳上一個n級的臺階總共同擁有多少種跳法。

能夠把n級臺階時的跳法看成是n的函數，記為f(n)。當n>2時，第一次跳的時候就有兩種不同的選擇：一是第一次僅僅跳1級，此時跳法數目等於後面剩下的n-1級臺階的跳法數目，即為f(n-1);還有一種選擇是第一次跳2級，此時跳法數目等於後面剩下n-2級臺階的跳法數目，即為f(n-2)。

因此。n級臺階的不同跳法的總數f(n)=f(n-1)+f(n-2)。分析到這裏，不難看出這實際上就是斐波那契數列了。

與斐波那契數列不同的是，其初始值定義稍有不同。
當n=1時，僅僅能跳一級臺階，一種跳法
當n=2時。一次跳一級或兩級，兩種跳法
所以。關於青蛙跳臺階的定義例如以下：

$$\begin{equation} f(n)=\left\{ \begin{array}{cc} 1, &n=1\ 2, &n=2\ f(n-1)+f(n-2), &n>2 \end{array} \right. \end{equation}$$

1. 非遞歸寫法

long long FrogJump12Step(int n)
{
    if (n <= 0)
    {
        std::cerr << "param error" << std::endl;
        return -1;
    }

    if (n == 1)
        return 1;
    if (n == 2)
        return 2;
    int frogNMinusOne = 2;//f(n-1)=2
    int frogNMinusTwo = 1;//f(n-2)=1
    int frogN = 0;
    for (unsigned int i = 3; i <= n;++i)
    {
        frogN = frogNMinusOne + frogNMinusTwo;
        frogNMinusTwo = frogNMinusOne;
        frogNMinusOne = frogN;
    }
    return frogN;
}

1. 遞歸解法

long long FrogJump12StepRecursive(int n)
{
    if (n <= 0)
    {
        std::cerr << "param error" << std::endl;
        return -1;
    }
    if (n == 1)
        return 1;
    if (n == 2)
        return 2;
    return FrogJump12StepRecursive(n - 1) + FrogJump12StepRecursive(n - 2);
}

題目3：

  一僅僅青蛙一次能夠跳上1級臺階，也能夠跳上2級。
。
。
。。它也能夠跳上n級，此時該青蛙跳上一個n級的臺階總共同擁有多少種跳法？

用數學歸納法能夠證明：$f(n)=2^{n-1}$.

遞歸式證明：
當n = 1 時， 僅僅有一種跳法，即1階跳：Fib(1) = 1;
當n = 2 時。 有兩種跳的方式，一階跳和二階跳：Fib(2) = Fib(1) + Fib(0) = 2;
當n = 3 時。有三種跳的方式，第一次跳出一階後。後面還有Fib(3-1)中跳法。 第一次跳出二階後，後面還有Fib(3-2)中跳法；第一次跳出三階後，後面還有Fib(3-3)中跳法
Fib(3) = Fib(2) + Fib(1)+Fib(0)=4;
當n = n 時。共同擁有n種跳的方式，第一次跳出一階後。後面還有Fib(n-1)中跳法； 第一次跳出二階後。後面還有Fib(n-2)中跳法……………………..第一次跳出n階後, 後面還有 Fib(n-n)中跳法.
Fib(n) = Fib(n-1)+Fib(n-2)+Fib(n-3)+……….+Fib(n-n)=Fib(0)+Fib(1)+Fib(2)+…….+Fib(n-1)
又由於Fib(n-1)=Fib(0)+Fib(1)+Fib(2)+…….+Fib(n-2)
兩式相減得：Fib(n)-Fib(n-1)=Fib(n-1)
=====》 Fib(n) = 2*Fib(n-1) n >= 2
遞歸等式例如以下：
$$\begin{equation} f(n)=\left\{ \begin{array}{cc} 1, &n=1\ 2, &n=2\ 2*f(n-1), &n>2 \end{array} \right. \end{equation}$$

所以：$f(n)=2*f(n-1)=2*2(n-2)....=2^{n-1}*f(0)=2^{n-1}$

1. 非遞歸解法：

long long FrogJump12nStep(int n)
{
    if (n <= 0)
    {
        std::cerr << "param error" << std::endl;
        return -1;
    }
    else if (n == 1)
        return 1;
    else
    {
        long long  fn1 = 1;
        long long fn = 0;
        for (int i = 2; i <= n;++i)
        {
            fn = 2 * fn1;
            fn1 = fn;
        }
        return fn;
    }
}

1. 遞歸解法

long long FrogJump12nStepRecursive(int n)
{
    if (n <= 0)
    {
        std::cerr << "param error" << std::endl;
        return -1;
    }
    else if (n == 1)
        return 1;
    else if (n == 2)
        return 2;
    else
        return 2 * FrogJump12nStepRecursive(n - 1);
}

題目4：

小矩形覆蓋大矩形，用2*1的小矩形橫著或豎著去覆蓋各大矩形。

思路：設題解為f(n),

第一步：若第一塊矩形豎著放，後邊還有n-1個2*1矩形，即此種情況下，有f(n-1)種覆蓋方法。
第二部：若第一塊橫著放。後邊還有n-2個2*1矩形，此種情況下，有f(n-2)種覆蓋方法。

第三部：可得 f(n)=f(n-1)+f(n-2)

可知，此題能夠轉化為其斐波那契數列第n項的值。

斐波那契數列及青蛙跳臺階問題